Номер 643, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Определение подобных треугольников. 65. Отношение площадей подобных треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 643, страница 166.

643 Отрезок BD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите:
а) AB, если ВС = 9 см, АD = 7,5 см, DC = 4,5 см;
б) DC, если AB = 30, AD = 20, ВС = 16.

Для решения данной задачи используется свойство биссектрисы треугольника. Оно гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, которые пропорциональны прилежащим сторонам. Если $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$ в треугольнике $ABC$, то справедливо следующее соотношение:

$$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $$

Используя эту формулу, решим обе части задачи.

а)

По условию нам даны следующие значения: $BC = 9$ см, $AD = 7,5$ см, $DC = 4,5$ см. Необходимо найти длину стороны $AB$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$$ \frac{7,5}{4,5} = \frac{AB}{9} $$

Теперь выразим из этого уравнения неизвестную сторону $AB$:

$$ AB = \frac{7,5 \cdot 9}{4,5} $$

Чтобы упростить вычисления, можно сократить $9$ и $4,5$:

$$ AB = 7,5 \cdot \frac{9}{4,5} = 7,5 \cdot 2 $$

$$ AB = 15 $$

Таким образом, длина стороны $AB$ составляет 15 см.

Ответ: $15$ см.

б)

По условию нам даны следующие значения: $AB = 30$, $AD = 20$, $BC = 16$. Необходимо найти длину отрезка $DC$.

Снова воспользуемся свойством биссектрисы:

$$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $$

Подставим известные значения в формулу:

$$ \frac{20}{DC} = \frac{30}{16} $$

Выразим из этого уравнения неизвестный отрезок $DC$:

$$ DC = \frac{20 \cdot 16}{30} $$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 10:

$$ DC = \frac{2 \cdot 16}{3} $$

$$ DC = \frac{32}{3} $$

Этот результат можно записать в виде смешанной дроби:

$$ DC = 10\frac{2}{3} $$

Таким образом, длина отрезка $DC$ равна $10\frac{2}{3}$.

Ответ: $10\frac{2}{3}$.