Номер 650, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Определение подобных треугольников. 65. Отношение площадей подобных треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 650, страница 166.

650 Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.

Рассмотрим два подобных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. По определению подобных треугольников, их соответственные углы равны, а отношение длин сходственных (соответственных) сторон равно коэффициенту подобия $k$.

То есть, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ означает, что:
$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Проведем в этих треугольниках высоты к одной из пар сходственных сторон, например, к сторонам $AC$ и $A_1C_1$. Пусть $BH$ — высота в $\triangle ABC$, проведенная к стороне $AC$, а $B_1H_1$ — высота в $\triangle A_1B_1C_1$, проведенная к стороне $A_1C_1$.
Это означает, что $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$.

Доказать:
Необходимо доказать, что отношение высот, проведенных к сходственным сторонам, равно отношению этих сторон:
$\frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$.
1. Поскольку $BH$ и $B_1H_1$ — высоты, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ являются прямоугольными: $\angle BHA = 90^\circ$ и $\angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$.
2. Углы $\angle A$ и $\angle A_1$ равны ($\angle A = \angle A_1$), так как они являются соответственными углами в подобных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Таким образом, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ подобны по первому признаку подобия (по двум равным углам).

Из подобия $\triangle ABH \sim \triangle A_1B_1H_1$ следует пропорциональность их сходственных сторон:
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AH}{A_1H_1}$

Из этого равенства нас интересует часть $\frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AB}{A_1B_1}$.

Из первоначального условия подобия треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ мы знаем, что $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Объединяя полученные равенства, имеем:
$\frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AB}{A_1B_1}$ и $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$
Следовательно, $\frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Это доказывает, что отношение высот, проведенных к сходственным сторонам, равно отношению самих этих сторон.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение длин сходственных сторон подобных треугольников равно отношению длин высот, проведённых к этим сторонам.