Номер 652, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Определение подобных треугольников. 65. Отношение площадей подобных треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 652, страница 166.

652 Треугольники ABC и А₁В₁С₁ подобны, и их сходственные стороны относятся как 6 : 5. Площадь треугольника ABC больше площади треугольника А₁В₁С₁ на 77 см². Найдите площади треугольников.

Пусть $S_{ABC}$ и $S_{A_1B_1C_1}$ — площади треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно.

Согласно условию, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Отношение их сходственных сторон, или коэффициент подобия $k$, равно $\frac{6}{5}$.$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k = \frac{6}{5} $$

Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия:$$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25} $$

Из этого соотношения мы можем выразить площади через общую переменную $x$. Пусть $S_{ABC} = 36x$ и $S_{A_1B_1C_1} = 25x$.

Также по условию задачи дано, что площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $A_1B_1C_1$ на 77 см?. Это можно записать в виде уравнения:$$ S_{ABC} - S_{A_1B_1C_1} = 77 $$

Подставим в это уравнение выражения для площадей через $x$:$$ 36x - 25x = 77 $$$$ 11x = 77 $$$$ x = \frac{77}{11} = 7 $$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти площади обоих треугольников:
Площадь треугольника $ABC$:$$ S_{ABC} = 36x = 36 \times 7 = 252 \, \text{см}^2 $$Площадь треугольника $A_1B_1C_1$:$$ S_{A_1B_1C_1} = 25x = 25 \times 7 = 175 \, \text{см}^2 $$

Проверим: разность площадей составляет $252 - 175 = 77 \, \text{см}^2$, что соответствует условию задачи.

Ответ: Площадь треугольника $ABC$ равна $252 \, \text{см}^2$, площадь треугольника $A_1B_1C_1$ равна $175 \, \text{см}^2$.