Номер 645, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Определение подобных треугольников. 65. Отношение площадей подобных треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 645, страница 166.

645 Биссектриса AD треугольника ABC делит сторону ВС на отрезки CD и BD, равные соответственно 4,5 см и 13,5 см. Найдите AB и АС, если периметр треугольника ABC равен 42 см.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. Для биссектрисы $AD$ треугольника $ABC$ это свойство записывается в виде пропорции:

$\frac{AC}{AB} = \frac{CD}{BD}$

По условию задачи даны длины отрезков $CD$ и $BD$:

$CD = 4,5$ см

$BD = 13,5$ см

Подставим эти значения в пропорцию и найдем соотношение между сторонами $AC$ и $AB$:

$\frac{AC}{AB} = \frac{4,5}{13,5}$

Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на 10, а затем сократим:

$\frac{4,5}{13,5} = \frac{45}{135} = \frac{1}{3}$

Таким образом, мы получили соотношение:

$\frac{AC}{AB} = \frac{1}{3}$

Отсюда можно выразить одну сторону через другую:

$AB = 3 \cdot AC$

Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон:

$P_{ABC} = AB + AC + BC$

Длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $CD$ и $BD$:

$BC = CD + BD = 4,5 + 13,5 = 18$ см

Периметр треугольника по условию равен 42 см. Составим уравнение, используя известные значения и соотношение сторон:

$AB + AC + BC = 42$

$(3 \cdot AC) + AC + 18 = 42$

Теперь решим полученное уравнение:

$4 \cdot AC + 18 = 42$

$4 \cdot AC = 42 - 18$

$4 \cdot AC = 24$

$AC = \frac{24}{4} = 6$ см

Теперь, зная длину $AC$, найдем длину $AB$:

$AB = 3 \cdot AC = 3 \cdot 6 = 18$ см

Ответ: $AC = 6$ см, $AB = 18$ см.