Страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

643 Отрезок BD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите:
а) AB, если ВС = 9 см, АD = 7,5 см, DC = 4,5 см;
б) DC, если AB = 30, AD = 20, ВС = 16.

Для решения данной задачи используется свойство биссектрисы треугольника. Оно гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, которые пропорциональны прилежащим сторонам. Если $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$ в треугольнике $ABC$, то справедливо следующее соотношение:

$$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $$

Используя эту формулу, решим обе части задачи.

а)

По условию нам даны следующие значения: $BC = 9$ см, $AD = 7,5$ см, $DC = 4,5$ см. Необходимо найти длину стороны $AB$.

Подставим известные значения в пропорцию:

$$ \frac{7,5}{4,5} = \frac{AB}{9} $$

Теперь выразим из этого уравнения неизвестную сторону $AB$:

$$ AB = \frac{7,5 \cdot 9}{4,5} $$

Чтобы упростить вычисления, можно сократить $9$ и $4,5$:

$$ AB = 7,5 \cdot \frac{9}{4,5} = 7,5 \cdot 2 $$

$$ AB = 15 $$

Таким образом, длина стороны $AB$ составляет 15 см.

Ответ: $15$ см.

б)

По условию нам даны следующие значения: $AB = 30$, $AD = 20$, $BC = 16$. Необходимо найти длину отрезка $DC$.

Снова воспользуемся свойством биссектрисы:

$$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $$

Подставим известные значения в формулу:

$$ \frac{20}{DC} = \frac{30}{16} $$

Выразим из этого уравнения неизвестный отрезок $DC$:

$$ DC = \frac{20 \cdot 16}{30} $$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 10:

$$ DC = \frac{2 \cdot 16}{3} $$

$$ DC = \frac{32}{3} $$

Этот результат можно записать в виде смешанной дроби:

$$ DC = 10\frac{2}{3} $$

Таким образом, длина отрезка $DC$ равна $10\frac{2}{3}$.

Ответ: $10\frac{2}{3}$.

644 Отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите BD и DC, если AB = 14 см, ВС = 20 см, АС = 21 см.

Найдите BD и DC

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим (прилежащим) сторонам.

В треугольнике $ABC$ отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$. Следовательно, для сторон треугольника и отрезков, на которые биссектриса делит сторону $BC$, справедливо следующее соотношение:

$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} $

Согласно условию задачи, нам известны длины сторон: $AB = 14$ см, $AC = 21$ см. Подставим эти значения в пропорцию:

$ \frac{BD}{DC} = \frac{14}{21} $

Сократим полученную дробь, разделив ее числитель и знаменатель на 7:

$ \frac{BD}{DC} = \frac{2}{3} $

Также по условию известно, что длина стороны $BC$ равна 20 см. Так как точка $D$ лежит на стороне $BC$, то $BC = BD + DC$.

$ BD + DC = 20 $

Для нахождения длин отрезков $BD$ и $DC$ составим и решим систему уравнений. Введем переменную: пусть длина отрезка $BD$ равна $x$ см. Тогда длина отрезка $DC$ будет равна $(20 - x)$ см.

Подставим эти выражения в нашу пропорцию:

$ \frac{x}{20 - x} = \frac{2}{3} $

Решим полученное уравнение относительно $x$, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$ 3 \cdot x = 2 \cdot (20 - x) $

Раскроем скобки в правой части:

$ 3x = 40 - 2x $

Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую:

$ 3x + 2x = 40 $

$ 5x = 40 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{40}{5} $

$ x = 8 $

Таким образом, длина отрезка $BD$ равна 8 см.

Теперь найдем длину отрезка $DC$:

$ DC = 20 - BD = 20 - 8 = 12 $ см.

Ответ: $BD = 8$ см, $DC = 12$ см.

645 Биссектриса AD треугольника ABC делит сторону ВС на отрезки CD и BD, равные соответственно 4,5 см и 13,5 см. Найдите AB и АС, если периметр треугольника ABC равен 42 см.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. Для биссектрисы $AD$ треугольника $ABC$ это свойство записывается в виде пропорции:

$\frac{AC}{AB} = \frac{CD}{BD}$

По условию задачи даны длины отрезков $CD$ и $BD$:

$CD = 4,5$ см

$BD = 13,5$ см

Подставим эти значения в пропорцию и найдем соотношение между сторонами $AC$ и $AB$:

$\frac{AC}{AB} = \frac{4,5}{13,5}$

Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на 10, а затем сократим:

$\frac{4,5}{13,5} = \frac{45}{135} = \frac{1}{3}$

Таким образом, мы получили соотношение:

$\frac{AC}{AB} = \frac{1}{3}$

Отсюда можно выразить одну сторону через другую:

$AB = 3 \cdot AC$

Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон:

$P_{ABC} = AB + AC + BC$

Длина стороны $BC$ равна сумме длин отрезков $CD$ и $BD$:

$BC = CD + BD = 4,5 + 13,5 = 18$ см

Периметр треугольника по условию равен 42 см. Составим уравнение, используя известные значения и соотношение сторон:

$AB + AC + BC = 42$

$(3 \cdot AC) + AC + 18 = 42$

Теперь решим полученное уравнение:

$4 \cdot AC + 18 = 42$

$4 \cdot AC = 42 - 18$

$4 \cdot AC = 24$

$AC = \frac{24}{4} = 6$ см

Теперь, зная длину $AC$, найдем длину $AB$:

$AB = 3 \cdot AC = 3 \cdot 6 = 18$ см

Ответ: $AC = 6$ см, $AB = 18$ см.

646 В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вершины D, Е и F лежат соответственно на сторонах MN, NK и МK. Найдите отрезки NE и ЕK, если MN = 7 см, NK = 6 см, MK = 5 см.

По условию задачи, в треугольник $MNK$ вписан ромб $MDEF$ так, что его вершина $M$ совпадает с вершиной треугольника, а вершины $D$, $E$ и $F$ лежат на сторонах $MN$, $NK$ и $MK$ соответственно. Даны длины сторон треугольника: $MN = 7$ см, $NK = 6$ см, $MK = 5$ см.

Обозначим сторону ромба через $x$. Тогда по определению ромба все его стороны равны: $MD = DE = EF = FM = x$.

У ромба противоположные стороны параллельны, следовательно, $DE \parallel MF$. Поскольку точка $F$ лежит на стороне $MK$, то прямая $MF$ является частью прямой $MK$. Таким образом, мы имеем параллельные прямые $DE \parallel MK$.

Рассмотрим треугольник $NMK$ и треугольник $NDE$.

• Угол $\angle N$ у них общий.
• Углы $\angle NDE$ и $\angle NMK$ равны как соответственные при параллельных прямых $DE$ и $MK$ и секущей $MN$.

Из этого следует, что треугольник $NDE$ подобен треугольнику $NMK$ по двум углам, то есть $\triangle NDE \sim \triangle NMK$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{ND}{NM} = \frac{NE}{NK} = \frac{DE}{MK}$

Выразим длины отрезков в этой пропорции через известные данные и переменную $x$:

• $NM = 7$ см
• $NK = 6$ см
• $MK = 5$ см
• $DE = x$ (сторона ромба)
• $ND = NM - MD = 7 - x$

Для нахождения $x$ воспользуемся равенством первого и третьего отношений в пропорции:

$\frac{ND}{NM} = \frac{DE}{MK}$

Подставим значения:

$\frac{7 - x}{7} = \frac{x}{5}$

Решим это уравнение относительно $x$, используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$5(7 - x) = 7x$

$35 - 5x = 7x$

$35 = 12x$

$x = \frac{35}{12}$

Итак, длина стороны ромба $DE$ равна $\frac{35}{12}$ см. Теперь мы можем найти искомые отрезки $NE$ и $EK$.

Воспользуемся равенством второго и третьего отношений в пропорции подобия:

$\frac{NE}{NK} = \frac{DE}{MK}$

Подставим известные значения и найденное значение $x$:

$\frac{NE}{6} = \frac{35/12}{5}$

$\frac{NE}{6} = \frac{35}{12 \cdot 5} = \frac{35}{60}$

Сократим дробь в правой части:

$\frac{NE}{6} = \frac{7}{12}$

Отсюда находим $NE$:

$NE = 6 \cdot \frac{7}{12} = \frac{42}{12} = \frac{7}{2} = 3.5$ см.

Точка $E$ делит сторону $NK$ на два отрезка: $NE$ и $EK$. Следовательно, $NK = NE + EK$. Найдем $EK$:

$EK = NK - NE = 6 - 3.5 = 2.5$ см.

Ответ: $NE = 3.5$ см, $EK = 2.5$ см.

647 Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины М, F и N лежат соответственно на сторонах CD, СЕ и DE. Найдите стороны CD и DE, если CF = 8 см, EF = 12 см.

По условию задачи, периметр треугольника $CDE$ равен 55 см. В треугольник вписан ромб $DMFN$ таким образом, что его вершины $M, F, N$ лежат на сторонах $CD, CE, DE$ соответственно. Это означает, что четвертая вершина ромба $D$ совпадает с вершиной треугольника $CDE$.

Нам даны длины отрезков $CF = 8$ см и $EF = 12$ см. Так как точка $F$ является вершиной ромба и лежит на стороне $CE$, то длина стороны $CE$ равна сумме длин этих отрезков:$CE = CF + EF = 8 + 12 = 20$ см.

Пусть сторона ромба $DMFN$ равна $a$. Тогда $DM = MF = FN = ND = a$.Вершины ромба $M$ и $N$ лежат на сторонах $CD$ и $DE$ треугольника, значит $DM$ и $DN$ являются сторонами ромба, исходящими из общей вершины $D$. Следовательно, $DM = DN = a$.

Согласно свойству ромба, его противоположные стороны параллельны.Сторона $MF$ параллельна стороне $DN$. Поскольку $N$ лежит на $DE$, то $MF \parallel DE$.Аналогично, сторона $FN$ параллельна стороне $DM$. Поскольку $M$ лежит на $CD$, то $FN \parallel CD$.

Рассмотрим $\triangle CDE$. Так как $MF \parallel DE$ (причем $M \in CD, F \in CE$), то $\triangle CMF$ подобен $\triangle CDE$.Из подобия треугольников следует соотношение их сторон:$\frac{CF}{CE} = \frac{CM}{CD} = \frac{MF}{DE}$Длина отрезка $CM$ выражается как $CM = CD - DM = CD - a$. Подставляя известные значения, получаем:$\frac{8}{20} = \frac{CD - a}{CD} = \frac{a}{DE}$Из этого соотношения можно вывести два уравнения. Упростим $\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$:1) $\frac{CD - a}{CD} = \frac{2}{5} \implies 1 - \frac{a}{CD} = \frac{2}{5}$2) $\frac{a}{DE} = \frac{2}{5} \implies a = \frac{2}{5}DE$

Далее, так как $FN \parallel CD$ (причем $F \in CE, N \in DE$), то $\triangle EFN$ подобен $\triangle ECD$.Из подобия следует соотношение сторон:$\frac{EF}{EC} = \frac{FN}{CD}$Подставляя известные значения, получаем:$\frac{12}{20} = \frac{a}{CD}$Упростим $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$. Таким образом:3) $\frac{a}{CD} = \frac{3}{5} \implies a = \frac{3}{5}CD$

Теперь у нас есть два выражения для длины стороны ромба $a$: $a = \frac{2}{5}DE$ и $a = \frac{3}{5}CD$.Приравнивая их, находим связь между сторонами $CD$ и $DE$:$\frac{2}{5}DE = \frac{3}{5}CD$$2DE = 3CD \implies DE = \frac{3}{2}CD$.

Используем данное значение периметра треугольника $CDE$:$P_{CDE} = CD + DE + CE = 55$ см.Подставим найденное значение $CE=20$ см:$CD + DE + 20 = 55$$CD + DE = 35$

Теперь решим систему уравнений для $CD$ и $DE$:1) $DE = \frac{3}{2}CD$2) $CD + DE = 35$
Подставим выражение для $DE$ из первого уравнения во второе:$CD + \frac{3}{2}CD = 35$$\frac{5}{2}CD = 35$$CD = 35 \cdot \frac{2}{5} = 7 \cdot 2 = 14$ см.

Теперь, зная $CD$, находим $DE$:$DE = \frac{3}{2}CD = \frac{3}{2} \cdot 14 = 3 \cdot 7 = 21$ см.

Ответ: $CD = 14$ см, $DE = 21$ см.

648 Подобны ли треугольники ABC и DEF, если ∠A = 106°, ∠B = 34°, ∠E = 106°, ∠F = 40°, АС = 4,4 см, AB = 5,2 см, ВС = 7,6 см, DE = 15,6 см, DF = 22,8 см, EF = 13,2 см?

Чтобы определить, подобны ли треугольники $ABC$ и $DEF$, необходимо проверить, выполняется ли для них один из признаков подобия. Проанализируем данные об углах и сторонах.

Проверка по углам (первый признак подобия)

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем неизвестные углы в каждом треугольнике.

Для треугольника $ABC$ известны два угла: $\angle A = 106^\circ$ и $\angle B = 34^\circ$. Найдем третий угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (106^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Для треугольника $DEF$ известны два угла: $\angle E = 106^\circ$ и $\angle F = 40^\circ$. Найдем третий угол $\angle D$:

$\angle D = 180^\circ - (\angle E + \angle F) = 180^\circ - (106^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$.

Теперь сравним углы двух треугольников. Углы $\triangle ABC$ равны $106^\circ, 34^\circ, 40^\circ$. Углы $\triangle DEF$ равны $106^\circ, 34^\circ, 40^\circ$.

Мы видим, что углы одного треугольника соответственно равны углам другого: $\angle A = \angle E = 106^\circ$, $\angle B = \angle D = 34^\circ$, и $\angle C = \angle F = 40^\circ$. Поскольку углы одного треугольника соответственно равны углам другого, то по первому признаку подобия (по трем углам) треугольники $ABC$ и $DEF$ подобны. Уже на этом этапе можно сделать окончательный вывод.

Проверка по сторонам (третий признак подобия)

Для полной уверенности проверим также пропорциональность сторон. Стороны, лежащие напротив равных углов, являются соответственными.

Установим соответствие между сторонами: сторона $AB$ (напротив $\angle C = 40^\circ$) соответствует стороне $DE$ (напротив $\angle F = 40^\circ$); сторона $BC$ (напротив $\angle A = 106^\circ$) соответствует стороне $DF$ (напротив $\angle E = 106^\circ$); сторона $AC$ (напротив $\angle B = 34^\circ$) соответствует стороне $EF$ (напротив $\angle D = 34^\circ$).

Теперь вычислим отношения длин этих соответственных сторон:

$\frac{DE}{AB} = \frac{15,6}{5,2} = 3$

$\frac{DF}{BC} = \frac{22,8}{7,6} = 3$

$\frac{EF}{AC} = \frac{13,2}{4,4} = 3$

Так как отношения длин всех соответственных сторон равны одному и тому же числу, $\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{BC} = \frac{EF}{AC} = 3$, то стороны пропорциональны. Это подтверждает, что треугольники подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам). Коэффициент подобия $k=3$.

Оба метода доказывают, что $\triangle ABC \sim \triangle EDF$.

Ответ: Да, треугольники $ABC$ и $DEF$ подобны.

649 В подобных треугольниках ABC и KMN стороны AB и KM, ВС и MN являются сходственными. Найдите стороны треугольника KMN, если AB = 4 см, ВС = 5 см, СА = 7 см, KMAB = 2,1

По условию задачи, треугольники $ABC$ и $KMN$ являются подобными. По определению подобных треугольников, их сходственные стороны пропорциональны. Отношение длин сходственных сторон называется коэффициентом подобия, который мы обозначим как $k$.

Из условия известно, что стороны $AB$ и $KM$, а также $BC$ и $MN$ являются сходственными (соответствующими). Это означает, что третьей парой сходственных сторон будут $CA$ и $NK$.

Запишем соотношение пропорциональности для всех пар сходственных сторон:

$\frac{KM}{AB} = \frac{MN}{BC} = \frac{NK}{CA} = k$

Нам даны длины сторон треугольника $ABC$:

$AB = 4$ см, $BC = 5$ см, $CA = 7$ см.

Также нам дан коэффициент подобия $k$ через отношение одной из пар сторон:

$k = \frac{KM}{AB} = 2.1$

Теперь мы можем использовать этот коэффициент для нахождения длин сторон треугольника $KMN$.

Нахождение стороны KM

Из отношения $\frac{KM}{AB} = 2.1$ выражаем $KM$:

$KM = 2.1 \cdot AB = 2.1 \cdot 4 = 8.4$ см.

Нахождение стороны MN

Используем то же соотношение для другой пары сторон: $\frac{MN}{BC} = k = 2.1$.

Выражаем $MN$:

$MN = 2.1 \cdot BC = 2.1 \cdot 5 = 10.5$ см.

Нахождение стороны NK

Используем соотношение для последней пары сторон: $\frac{NK}{CA} = k = 2.1$.

Выражаем $NK$:

$NK = 2.1 \cdot CA = 2.1 \cdot 7 = 14.7$ см.

Таким образом, стороны треугольника $KMN$ равны $8.4$ см, $10.5$ см и $14.7$ см.

Ответ: стороны треугольника $KMN$ равны $KM = 8.4$ см, $MN = 10.5$ см, $NK = 14.7$ см.

650 Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.

Рассмотрим два подобных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. По определению подобных треугольников, их соответственные углы равны, а отношение длин сходственных (соответственных) сторон равно коэффициенту подобия $k$.

То есть, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ означает, что:
$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Проведем в этих треугольниках высоты к одной из пар сходственных сторон, например, к сторонам $AC$ и $A_1C_1$. Пусть $BH$ — высота в $\triangle ABC$, проведенная к стороне $AC$, а $B_1H_1$ — высота в $\triangle A_1B_1C_1$, проведенная к стороне $A_1C_1$.
Это означает, что $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$.

Доказать:
Необходимо доказать, что отношение высот, проведенных к сходственным сторонам, равно отношению этих сторон:
$\frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$.
1. Поскольку $BH$ и $B_1H_1$ — высоты, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ являются прямоугольными: $\angle BHA = 90^\circ$ и $\angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$.
2. Углы $\angle A$ и $\angle A_1$ равны ($\angle A = \angle A_1$), так как они являются соответственными углами в подобных треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Таким образом, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ подобны по первому признаку подобия (по двум равным углам).

Из подобия $\triangle ABH \sim \triangle A_1B_1H_1$ следует пропорциональность их сходственных сторон:
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AH}{A_1H_1}$

Из этого равенства нас интересует часть $\frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AB}{A_1B_1}$.

Из первоначального условия подобия треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ мы знаем, что $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Объединяя полученные равенства, имеем:
$\frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AB}{A_1B_1}$ и $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$
Следовательно, $\frac{BH}{B_1H_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Это доказывает, что отношение высот, проведенных к сходственным сторонам, равно отношению самих этих сторон.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение длин сходственных сторон подобных треугольников равно отношению длин высот, проведённых к этим сторонам.

651 Площади двух подобных треугольников равны 75 м² и 300 м². Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.

Пусть $S_1$ и $a_1$ — это площадь и искомая сторона первого треугольника, а $S_2$ и $a_2$ — площадь и соответствующая ей (сходственная) сторона второго треугольника.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:
$S_1 = 75 \text{ м}^2$
$S_2 = 300 \text{ м}^2$
$a_2 = 9 \text{ м}$

Теорема об отношении площадей подобных фигур гласит, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия, который, в свою очередь, равен отношению их сходственных сторон. Это можно записать в виде формулы:
$ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 $

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти $a_1$:
$ \frac{75}{300} = \left(\frac{a_1}{9}\right)^2 $

Сначала упростим левую часть уравнения, разделив 75 на 300:
$ \frac{75}{300} = \frac{1}{4} $

Теперь наше уравнение выглядит так:
$ \frac{1}{4} = \left(\frac{a_1}{9}\right)^2 $

Чтобы избавиться от квадрата в правой части, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$ \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{a_1}{9} $
$ \frac{1}{2} = \frac{a_1}{9} $

Наконец, найдем значение $a_1$, умножив обе части на 9:
$ a_1 = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5 \text{ м} $

Ответ: 4,5 м.

652 Треугольники ABC и А₁В₁С₁ подобны, и их сходственные стороны относятся как 6 : 5. Площадь треугольника ABC больше площади треугольника А₁В₁С₁ на 77 см². Найдите площади треугольников.

Пусть $S_{ABC}$ и $S_{A_1B_1C_1}$ — площади треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно.

Согласно условию, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Отношение их сходственных сторон, или коэффициент подобия $k$, равно $\frac{6}{5}$.$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k = \frac{6}{5} $$

Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия:$$ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25} $$

Из этого соотношения мы можем выразить площади через общую переменную $x$. Пусть $S_{ABC} = 36x$ и $S_{A_1B_1C_1} = 25x$.

Также по условию задачи дано, что площадь треугольника $ABC$ больше площади треугольника $A_1B_1C_1$ на 77 см?. Это можно записать в виде уравнения:$$ S_{ABC} - S_{A_1B_1C_1} = 77 $$

Подставим в это уравнение выражения для площадей через $x$:$$ 36x - 25x = 77 $$$$ 11x = 77 $$$$ x = \frac{77}{11} = 7 $$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти площади обоих треугольников:
Площадь треугольника $ABC$:$$ S_{ABC} = 36x = 36 \times 7 = 252 \, \text{см}^2 $$Площадь треугольника $A_1B_1C_1$:$$ S_{A_1B_1C_1} = 25x = 25 \times 7 = 175 \, \text{см}^2 $$

Проверим: разность площадей составляет $252 - 175 = 77 \, \text{см}^2$, что соответствует условию задачи.

Ответ: Площадь треугольника $ABC$ равна $252 \, \text{см}^2$, площадь треугольника $A_1B_1C_1$ равна $175 \, \text{см}^2$.