Номер 648, страница 166 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Определение подобных треугольников. 65. Отношение площадей подобных треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 648, страница 166.

648 Подобны ли треугольники ABC и DEF, если ∠A = 106°, ∠B = 34°, ∠E = 106°, ∠F = 40°, АС = 4,4 см, AB = 5,2 см, ВС = 7,6 см, DE = 15,6 см, DF = 22,8 см, EF = 13,2 см?

Чтобы определить, подобны ли треугольники $ABC$ и $DEF$, необходимо проверить, выполняется ли для них один из признаков подобия. Проанализируем данные об углах и сторонах.

Проверка по углам (первый признак подобия)

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем неизвестные углы в каждом треугольнике.

Для треугольника $ABC$ известны два угла: $\angle A = 106^\circ$ и $\angle B = 34^\circ$. Найдем третий угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (106^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Для треугольника $DEF$ известны два угла: $\angle E = 106^\circ$ и $\angle F = 40^\circ$. Найдем третий угол $\angle D$:

$\angle D = 180^\circ - (\angle E + \angle F) = 180^\circ - (106^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$.

Теперь сравним углы двух треугольников. Углы $\triangle ABC$ равны $106^\circ, 34^\circ, 40^\circ$. Углы $\triangle DEF$ равны $106^\circ, 34^\circ, 40^\circ$.

Мы видим, что углы одного треугольника соответственно равны углам другого: $\angle A = \angle E = 106^\circ$, $\angle B = \angle D = 34^\circ$, и $\angle C = \angle F = 40^\circ$. Поскольку углы одного треугольника соответственно равны углам другого, то по первому признаку подобия (по трем углам) треугольники $ABC$ и $DEF$ подобны. Уже на этом этапе можно сделать окончательный вывод.

Проверка по сторонам (третий признак подобия)

Для полной уверенности проверим также пропорциональность сторон. Стороны, лежащие напротив равных углов, являются соответственными.

Установим соответствие между сторонами: сторона $AB$ (напротив $\angle C = 40^\circ$) соответствует стороне $DE$ (напротив $\angle F = 40^\circ$); сторона $BC$ (напротив $\angle A = 106^\circ$) соответствует стороне $DF$ (напротив $\angle E = 106^\circ$); сторона $AC$ (напротив $\angle B = 34^\circ$) соответствует стороне $EF$ (напротив $\angle D = 34^\circ$).

Теперь вычислим отношения длин этих соответственных сторон:

$\frac{DE}{AB} = \frac{15,6}{5,2} = 3$

$\frac{DF}{BC} = \frac{22,8}{7,6} = 3$

$\frac{EF}{AC} = \frac{13,2}{4,4} = 3$

Так как отношения длин всех соответственных сторон равны одному и тому же числу, $\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{BC} = \frac{EF}{AC} = 3$, то стороны пропорциональны. Это подтверждает, что треугольники подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам). Коэффициент подобия $k=3$.

Оба метода доказывают, что $\triangle ABC \sim \triangle EDF$.

Ответ: Да, треугольники $ABC$ и $DEF$ подобны.