Номер 653, страница 167 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Определение подобных треугольников. 65. Отношение площадей подобных треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 653, страница 167.

653 План земельного участка имеет форму треугольника. Площадь изображённого на плане треугольника равна 87,5 см². Найдите площадь земельного участка, если план выполнен в масштабе 1 : 100 000.

Для решения задачи необходимо найти реальную площадь земельного участка, зная его площадь на плане и масштаб этого плана.

1. Определение соотношения площадей.

Масштаб плана 1 : 100 000 является линейным. Это означает, что 1 единица длины на плане соответствует 100 000 таким же единицам длины на местности. Пусть коэффициент подобия $k = 100 \ 000$.

Отношение площадей подобных фигур (в данном случае, треугольника на плане и реального участка) равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{реальная}}{S_{плана}} = k^2$

2. Вычисление реальной площади.

Самый простой способ – сначала преобразовать линейный масштаб в удобные единицы.

Масштаб 1 : 100 000 означает, что 1 см на плане соответствует 100 000 см на местности.

Переведем 100 000 см в километры:

$100 \ 000 \ \text{см} = 1000 \ \text{м} = 1 \ \text{км}$

Таким образом, линейный масштаб составляет 1 см на плане к 1 км на местности.

Теперь найдем масштаб для площадей, возведя обе части в квадрат:

$(1 \ \text{см})^2$ на плане соответствует $(1 \ \text{км})^2$ на местности.

То есть, $1 \ \text{см}^2$ на плане равен $1 \ \text{км}^2$ в реальности.

Площадь треугольника на плане составляет $S_{плана} = 87,5 \ \text{см}^2$.

Следовательно, реальная площадь земельного участка $S_{участка}$ будет равна:

$S_{участка} = 87,5 \cdot 1 \ \text{км}^2 = 87,5 \ \text{км}^2$

Можно также выразить эту площадь в гектарах. Зная, что $1 \ \text{км}^2 = 100 \ \text{га}$, получаем:

$S_{участка} = 87,5 \cdot 100 \ \text{га} = 8750 \ \text{га}$

Ответ: $87,5 \ \text{км}^2$.