Номер 657, страница 169 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Признаки подобия треугольников. 68. Третий признак подобия треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 657, страница 169.

657 По данным рисунка 224 найдите х и у.

Найти x

На верхнем рисунке изображены два прямоугольных треугольника. Угол, обозначенный как $\alpha$, является острым углом в каждом из этих треугольников. Поскольку треугольники прямоугольные и имеют по равному острому углу, они являются подобными (по признаку подобия по двум углам).

В подобных треугольниках отношение соответствующих сторон равно. В данном случае, отношение катета, противолежащего углу $\alpha$, к катету, прилежащему к этому же углу, будет одинаковым для обоих треугольников. Это отношение также является тангенсом угла $\alpha$.

Для левого треугольника отношение катетов равно: $\frac{8}{12}$.

Для правого треугольника отношение катетов равно: $\frac{6}{x}$.

Приравняем эти отношения, чтобы составить пропорцию:

$\frac{8}{12} = \frac{6}{x}$

Сначала упростим дробь в левой части: $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

$\frac{2}{3} = \frac{6}{x}$

Теперь решим пропорцию относительно $x$:

$2 \cdot x = 3 \cdot 6$

$2x = 18$

$x = \frac{18}{2}$

$x = 9$

Ответ: $x = 9$.

Найти y

На нижнем рисунке изображены два прямоугольных треугольника: большой и малый. Малый треугольник является частью большого. У них есть общий острый угол (в правом нижнем углу) и оба они имеют по прямому углу. Следовательно, эти треугольники подобны (по двум углам).

Катеты большого треугольника равны $y$ (вертикальный) и $20 + 8 = 28$ (горизонтальный).

Катеты малого треугольника равны 10 (вертикальный) и 8 (горизонтальный).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих катетов равно:

$\frac{\text{вертикальный катет большого}}{\text{горизонтальный катет большого}} = \frac{\text{вертикальный катет малого}}{\text{горизонтальный катет малого}}$

Подставим значения:

$\frac{y}{28} = \frac{10}{8}$

Упростим дробь в правой части: $\frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.

$\frac{y}{28} = \frac{5}{4}$

Теперь выразим и найдем $y$:

$y = \frac{28 \cdot 5}{4}$

$y = 7 \cdot 5$

$y = 35$

Ответ: $y = 35$.