Номер 664, страница 170 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Подобные треугольники. Параграф 2. Признаки подобия треугольников. 68. Третий признак подобия треугольников - номер 664, страница 170.

Условие.

664 Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DE, причём точки В и D лежат на одной стороне угла, а С и E — на другой. Найдите:
а) АС, если СЕ = 10 см, АD = 22 см, BD = 8 см;
б) BD и DE, если AB = 10 см, АС = 8 см, ВС = 4 см, СЕ = 4 см;
в) ВС, если AB : BD = 2 : 1 и DE = 12 см.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

По условию задачи, стороны угла $A$ пересечены параллельными прямыми $BC$ и $DE$. Это означает, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $ADE$ ( $\triangle ABC \sim \triangle ADE$ ). Сходство следует из равенства углов: угол $A$ является общим для обоих треугольников, а углы $\angle ABC$ и $\angle ADE$ (а также $\angle ACB$ и $\angle AED$) равны как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $DE$ и секущих $AD$ и $AE$ соответственно.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$

Также, поскольку точки $B$ и $D$ лежат на одной стороне угла, а $C$ и $E$ — на другой, то $AD = AB + BD$ и $AE = AC + CE$.

а) Найти $AC$, если $CE = 10$ см, $AD = 22$ см, $BD = 8$ см.

1. Найдем длину отрезка $AB$. Так как точки $A, B, D$ лежат на одной прямой, $AB = AD - BD$.

$AB = 22 - 8 = 14$ см.

2. Обозначим искомую длину $AC$ через $x$. Тогда $AE = AC + CE = x + 10$.

3. Используем соотношение из подобия треугольников:

$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$

Подставим известные значения:

$\frac{14}{22} = \frac{x}{x + 10}$

4. Решим полученное уравнение. Сократим дробь в левой части:

$\frac{7}{11} = \frac{x}{x + 10}$

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$7 \cdot (x + 10) = 11 \cdot x$

$7x + 70 = 11x$

$11x - 7x = 70$

$4x = 70$

$x = \frac{70}{4} = 17.5$ см.

Ответ: $AC = 17.5$ см.

б) Найти $BD$ и $DE$, если $AB = 10$ см, $AC = 8$ см, $BC = 4$ см, $CE = 4$ см.

1. Найдем длину отрезка $AE$. Так как точки $A, C, E$ лежат на одной прямой, $AE = AC + CE$.

$AE = 8 + 4 = 12$ см.

2. Теперь мы можем найти коэффициент подобия $k$ треугольников $\triangle ADE$ и $\triangle ABC$, используя отношение сторон $AE$ и $AC$:

$k = \frac{AE}{AC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

3. Используем соотношение $\frac{AD}{AB} = k$ для нахождения $AD$:

$\frac{AD}{10} = \frac{3}{2} \implies AD = 10 \cdot \frac{3}{2} = 15$ см.

4. Теперь найдем $BD$:

$BD = AD - AB = 15 - 10 = 5$ см.

5. Используем соотношение $\frac{DE}{BC} = k$ для нахождения $DE$:

$\frac{DE}{4} = \frac{3}{2} \implies DE = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$ см.

Ответ: $BD = 5$ см, $DE = 6$ см.

в) Найти $BC$, если $AB : BD = 2 : 1$ и $DE = 12$ см.

1. Из соотношения $AB : BD = 2 : 1$ следует, что мы можем представить длины этих отрезков как $AB = 2x$ и $BD = x$ для некоторого положительного числа $x$.

2. Найдем длину отрезка $AD$ через $x$:

$AD = AB + BD = 2x + x = 3x$.

3. Используем соотношение из подобия треугольников:

$\frac{BC}{DE} = \frac{AB}{AD}$

Подставим известные значения и выражения через $x$:

$\frac{BC}{12} = \frac{2x}{3x}$

4. Сократим $x$ в правой части уравнения:

$\frac{BC}{12} = \frac{2}{3}$

5. Найдем $BC$:

$BC = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ см.

Ответ: $BC = 8$ см.