Номер 671, страница 171 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Признаки подобия треугольников. 68. Третий признак подобия треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 671, страница 171.

671 Через точку М, взятую на медиане AD треугольника ABC, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке K. Найдите отношение AKKC, если: а) М — середина отрезка AD; б) AMMD = 12.

a)

Для решения задачи воспользуемся методом дополнительных построений.

1. Проведем через точку $ D $ прямую, параллельную прямой $ BK $. Пусть точка пересечения этой прямой со стороной $ AC $ будет $ P $. Таким образом, у нас есть $ DP \parallel BK $.

2. Рассмотрим треугольник $ CBK $. Поскольку $ AD $ — медиана, точка $ D $ является серединой стороны $ BC $. Так как $ D $ — середина $ BC $ и $ DP \parallel BK $, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника) точка $ P $ является серединой отрезка $ CK $. Следовательно, $ KP = PC $, из чего следует, что $ KC = 2KP $.

3. Теперь рассмотрим треугольник $ ADP $. Отрезок $ MK $ параллелен отрезку $ DP $, так как $ M $ и $ K $ лежат на прямой $ BK $, а мы построили $ DP \parallel BK $. Применим теорему о пропорциональных отрезках к углу $ \angle CAD $, стороны которого пересечены параллельными прямыми $ MK $ и $ DP $:

$ \frac{AK}{KP} = \frac{AM}{MD} $

В условии пункта а) сказано, что $ M $ — середина отрезка $ AD $. Это означает, что $ AM = MD $, и, следовательно, $ \frac{AM}{MD} = 1 $.

4. Из этого следует, что $ \frac{AK}{KP} = 1 $, то есть $ AK = KP $.

5. Объединим полученные результаты: $ KC = 2KP $ и $ AK = KP $. Заменив $ KP $ на $ AK $ в первом равенстве, получим $ KC = 2AK $.

6. Теперь найдем искомое отношение:

$ \frac{AK}{KC} = \frac{AK}{2AK} = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

б)

Решение для этого случая аналогично предыдущему, но с другим соотношением для точки $ M $.

1. Используем то же самое дополнительное построение: проведем прямую $ DP $ параллельно $ BK $, где $ P $ — точка на стороне $ AC $.

2. Как и в пункте а), из рассмотрения $ \triangle CBK $ следует, что $ D $ — середина $ BC $ и $ DP \parallel BK $, поэтому $ P $ — середина $ CK $, и $ KC = 2KP $.

3. Снова применим теорему о пропорциональных отрезках к углу $ \angle CAD $ и параллельным прямым $ MK $ и $ DP $:

$ \frac{AK}{KP} = \frac{AM}{MD} $

4. По условию пункта б), $ \frac{AM}{MD} = \frac{1}{2} $. Подставив это значение в формулу, получаем:

$ \frac{AK}{KP} = \frac{1}{2} $

Отсюда следует, что $ KP = 2AK $.

5. Теперь подставим полученное выражение для $ KP $ в равенство из шага 2:

$ KC = 2KP = 2(2AK) = 4AK $.

6. Наконец, находим искомое отношение:

$ \frac{AK}{KC} = \frac{AK}{4AK} = \frac{1}{4} $.

Ответ: $ \frac{1}{4} $