Номер 676, страница 178 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 676, страница 178.

676 Диагональ АС параллелограмма ABCD равна 18 см. Середина М стороны AB соединена с вершиной D. Найдите отрезки, на которые делится диагональ АС отрезком DM.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Диагональ $AC = 18$ см. Точка $M$ — середина стороны $AB$, т.е. $AM = MB = \frac{1}{2}AB$. Отрезок $DM$ пересекает диагональ $AC$ в точке $O$. Требуется найти длины отрезков $AO$ и $OC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle COD$.

1. Угол $\angle AOM$ равен углу $\angle COD$, так как они являются вертикальными углами.

2. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel DC$. Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, углы $\angle OAM$ (он же $\angle CAB$) и $\angle OCD$ (он же $\angle ACD$) равны как накрест лежащие углы.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle COD$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{AO}{CO} = \frac{AM}{CD} = \frac{OM}{OD} $$

По условию, $M$ — середина стороны $AB$, значит $AM = \frac{1}{2}AB$. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AB = CD$. Заменим $AB$ на $CD$ в выражении для $AM$: $$ AM = \frac{1}{2}CD $$

Теперь подставим это в соотношение сторон подобных треугольников: $$ \frac{AO}{CO} = \frac{\frac{1}{2}CD}{CD} = \frac{1}{2} $$

Из этой пропорции получаем, что $CO = 2 \cdot AO$.

Точка $O$ делит диагональ $AC$ на два отрезка, $AO$ и $OC$. Их сумма равна длине всей диагонали: $$ AO + OC = AC = 18 \text{ см} $$

Подставим в это уравнение выражение $CO = 2 \cdot AO$: $$ AO + 2 \cdot AO = 18 $$ $$ 3 \cdot AO = 18 $$ $$ AO = \frac{18}{3} = 6 \text{ см} $$

Теперь найдем длину второго отрезка: $$ OC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см} $$

Проверка: $AO + OC = 6 + 12 = 18$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: отрезок $DM$ делит диагональ $AC$ на отрезки длиной 6 см и 12 см.