Номер 681, страница 179 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Подобные треугольники. Параграф 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности - номер 681, страница 179.

Условие.

681 Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого обозначим как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.

Согласно условию задачи, отношение катетов составляет $a : b = 3 : 4$. Мы можем выразить их через коэффициент пропорциональности $x$: $a = 3x$ и $b = 4x$. Длина гипотенузы дана: $c = 50$ мм.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим наши выражения для катетов и значение гипотенузы в формулу:

$(3x)^2 + (4x)^2 = 50^2$

$9x^2 + 16x^2 = 2500$

$25x^2 = 2500$

$x^2 = \frac{2500}{25}$

$x^2 = 100$

Поскольку длина отрезка должна быть положительной, $x = \sqrt{100} = 10$.

Теперь мы можем найти длины катетов:

$a = 3x = 3 \cdot 10 = 30$ мм.

$b = 4x = 4 \cdot 10 = 40$ мм.

Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, делит ее на два отрезка. Эти отрезки являются проекциями катетов на гипотенузу. Обозначим их $c_a$ (проекция катета $a$) и $c_b$ (проекция катета $b$).

Используем метрические соотношения в прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Для катета $a$ соотношение выглядит так: $a^2 = c \cdot c_a$.

Подставим известные значения и найдем отрезок $c_a$:

$30^2 = 50 \cdot c_a$

$900 = 50 \cdot c_a$

$c_a = \frac{900}{50} = 18$ мм.

Для катета $b$ соотношение выглядит так: $b^2 = c \cdot c_b$.

Подставим известные значения и найдем отрезок $c_b$:

$40^2 = 50 \cdot c_b$

$1600 = 50 \cdot c_b$

$c_b = \frac{1600}{50} = 32$ мм.

Для проверки можно сложить длины полученных отрезков: $18 + 32 = 50$ мм, что равно длине гипотенузы.

Ответ: высота делит гипотенузу на отрезки длиной 18 мм и 32 мм.