Номер 681, страница 179 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 681, страница 179.

681 Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого обозначим как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.

Согласно условию задачи, отношение катетов составляет $a : b = 3 : 4$. Мы можем выразить их через коэффициент пропорциональности $x$: $a = 3x$ и $b = 4x$. Длина гипотенузы дана: $c = 50$ мм.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим наши выражения для катетов и значение гипотенузы в формулу:

$(3x)^2 + (4x)^2 = 50^2$

$9x^2 + 16x^2 = 2500$

$25x^2 = 2500$

$x^2 = \frac{2500}{25}$

$x^2 = 100$

Поскольку длина отрезка должна быть положительной, $x = \sqrt{100} = 10$.

Теперь мы можем найти длины катетов:

$a = 3x = 3 \cdot 10 = 30$ мм.

$b = 4x = 4 \cdot 10 = 40$ мм.

Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, делит ее на два отрезка. Эти отрезки являются проекциями катетов на гипотенузу. Обозначим их $c_a$ (проекция катета $a$) и $c_b$ (проекция катета $b$).

Используем метрические соотношения в прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Для катета $a$ соотношение выглядит так: $a^2 = c \cdot c_a$.

Подставим известные значения и найдем отрезок $c_a$:

$30^2 = 50 \cdot c_a$

$900 = 50 \cdot c_a$

$c_a = \frac{900}{50} = 18$ мм.

Для катета $b$ соотношение выглядит так: $b^2 = c \cdot c_b$.

Подставим известные значения и найдем отрезок $c_b$:

$40^2 = 50 \cdot c_b$

$1600 = 50 \cdot c_b$

$c_b = \frac{1600}{50} = 32$ мм.

Для проверки можно сложить длины полученных отрезков: $18 + 32 = 50$ мм, что равно длине гипотенузы.

Ответ: высота делит гипотенузу на отрезки длиной 18 мм и 32 мм.