Номер 687, страница 179 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 687, страница 179.

687 Для определения высоты дерева можно использовать зеркало так, как показано на рисунке 234. Луч света FD, отражаясь от зеркала в точке D, попадает в глаз человека (точку В). Определите высоту дерева, если АС=165см, ВС=12см, AD=120см, DЕ=4,8м, ∠1=∠2.

Для решения задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. На рисунке изображены два треугольника: $\triangle ABD$ (образован ростом наблюдателя, расстоянием до зеркала и лучом света) и $\triangle FED$ (образован высотой дерева, расстоянием от дерева до зеркала и лучом света).

1. Найдем высоту глаз наблюдателя над землей. Она равна высоте наблюдателя до макушки ($AC$) минус расстояние от макушки до глаз ($BC$). Обозначим высоту глаз как $AB$.

$AB = AC - BC = 165 \text{ см} - 12 \text{ см} = 153 \text{ см}$.

2. Для удобства расчетов приведем все известные величины к одной единице измерения — метрам.

• Высота глаз наблюдателя: $AB = 153 \text{ см} = 1.53 \text{ м}$.
• Расстояние от наблюдателя до зеркала: $AD = 120 \text{ см} = 1.2 \text{ м}$.
• Расстояние от зеркала до дерева: $DE = 4.8 \text{ м}$.

3. Докажем подобие треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle FED$.

Предполагается, что и наблюдатель, и дерево стоят перпендикулярно поверхности земли. Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle FED$ являются прямоугольными:

$\angle{A} = \angle{E} = 90^\circ$.

По закону отражения света, угол падения луча равен углу отражения. В данном контексте это означает, что углы, которые образуют лучи с поверхностью зеркала, равны. По условию задачи дано, что $\angle{1} = \angle{2}$.

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle FED$ имеют по два равных угла: $\angle{A} = \angle{E}$ и $\angle{BDA} = \angle{FDE}$ (так как $\angle{BDA} = \angle{1}$ и $\angle{FDE} = \angle{2}$). Следовательно, $\triangle ABD \sim \triangle FED$ по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{AB}{FE} = \frac{AD}{DE}$

Здесь $FE$ — искомая высота дерева. Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{1.53}{FE} = \frac{1.2}{4.8}$

5. Выразим и найдем $FE$:

$FE = \frac{1.53 \cdot 4.8}{1.2}$

Сократим дробь $\frac{4.8}{1.2}$:

$\frac{4.8}{1.2} = \frac{48}{12} = 4$

Теперь вычислим высоту дерева:

$FE = 1.53 \cdot 4 = 6.12 \text{ м}$

Ответ: 6.12 м.