Номер 691, страница 180 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 691, страница 180.

691 Начертите отрезок AB и разделите его в отношении: а) 2 : 5; б) 3 : 7; в) 4 : 3.

Для решения данной задачи используется метод, основанный на теореме Фалеса (или теореме о пропорциональных отрезках). Алгоритм построения для каждого случая будет следующим:

а) 2 : 5

Чтобы разделить отрезок AB в отношении 2 : 5, нужно мысленно разбить его на $2 + 5 = 7$ равных частей и найти точку, которая отделяет 2 части от остальных 5.

1. Начертите произвольный отрезок AB.
2. Из точки A проведите луч AC, не лежащий на прямой AB, под любым удобным острым углом.
3. На луче AC с помощью циркуля отложите от точки A семь ($2+5=7$) равных отрезков произвольной длины. Обозначим концы отрезков точками $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6, C_7$.
4. Соедините последнюю точку $C_7$ с точкой B отрезком прямой.
5. Теперь через точку $C_2$ (соответствующую первому числу в отношении) проведите прямую, параллельную отрезку $C_7B$. Для этого можно, например, построить угол при вершине $C_2$, равный углу $AC_7B$.
6. Точка D, в которой эта параллельная прямая пересечет отрезок AB, и будет искомой точкой.

По теореме о пропорциональных отрезках, поскольку $DC_2 \parallel BC_7$, то прямые отсекают на сторонах угла $CAB$ пропорциональные отрезки. Это значит, что $AD : DB = AC_2 : C_2C_7$. По построению, отрезок $AC_2$ состоит из 2 равных частей, а отрезок $C_2C_7$ — из $7-2=5$ таких же частей. Следовательно, $AD : DB = 2 : 5$.

Ответ: Построенная точка D делит отрезок AB в отношении 2 : 5.

б) 3 : 7

Чтобы разделить отрезок AB в отношении 3 : 7, необходимо разбить его на $3 + 7 = 10$ равных частей.

1. Начертите произвольный отрезок AB.
2. Из точки A проведите луч AC под произвольным углом к AB.
3. На луче AC с помощью циркуля отложите от точки A десять ($3+7=10$) последовательных равных отрезков. Обозначим их концы $C_1, C_2, \dots, C_{10}$.
4. Соедините точку $C_{10}$ с точкой B.
5. Через точку $C_3$ (соответствующую первому числу в отношении) проведите прямую, параллельную отрезку $C_{10}B$.
6. Точка пересечения этой прямой с отрезком AB, обозначенная как D, разделит отрезок AB в заданном отношении.

Аналогично предыдущему пункту, по теореме о пропорциональных отрезках, $AD : DB = AC_3 : C_3C_{10}$. Так как отрезок $AC_3$ содержит 3 единичных отрезка, а $C_3C_{10}$ содержит $10-3=7$ таких же отрезков, то $AD : DB = 3 : 7$.

Ответ: Построенная точка D делит отрезок AB в отношении 3 : 7.

в) 4 : 3

Для деления отрезка AB в отношении 4 : 3, его нужно разбить на $4 + 3 = 7$ равных частей.

1. Начертите произвольный отрезок AB.
2. Из точки A проведите вспомогательный луч AC.
3. На луче AC отложите семь ($4+3=7$) равных отрезков. Обозначим их концы $C_1, C_2, \dots, C_7$.
4. Соедините точку $C_7$ с точкой B.
5. Через точку $C_4$ (соответствующую первому числу в отношении) проведите прямую, параллельную отрезку $C_7B$.
6. Точка D, где построенная прямая пересекает отрезок AB, является искомой.

Согласно теореме Фалеса, $AD : DB = AC_4 : C_4C_7$. По построению, $AC_4$ состоит из 4 равных частей, а $C_4C_7$ состоит из $7-4=3$ таких же частей. Таким образом, $AD : DB = 4 : 3$.

Ответ: Построенная точка D делит отрезок AB в отношении 4 : 3.