Номер 695, страница 180 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 695, страница 180.

695 Постройте треугольник ABC по углу А и стороне ВС, если известно, что AB : АС = 2 : 1.

Для решения данной задачи на построение воспользуемся методом подобия. Суть метода заключается в том, чтобы сначала построить треугольник, подобный искомому (то есть имеющий ту же форму), а затем, используя данную длину стороны $BC$, построить сам искомый треугольник нужного размера.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. Его форма определяется двумя заданными условиями: величиной угла $\angle A$ и отношением сторон $AB : AC = 2 : 1$. Третье условие — длина стороны $BC$ — определяет его размеры.

Мы можем построить вспомогательный треугольник $A_1B_1C_1$, подобный треугольнику $ABC$. Для этого достаточно выбрать произвольную длину для стороны $A_1C_1$, а затем, используя известные угол $\angle A$ и отношение сторон, построить сам треугольник $A_1B_1C_1$. Пусть мы выбрали произвольный отрезок для стороны $A_1C_1$. Тогда, согласно условию, сторона $A_1B_1$ должна быть в два раза длиннее. Угол $\angle A_1$ должен быть равен данному углу $\angle A$. Таким образом, мы можем построить треугольник $A_1B_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними.

Построенный вспомогательный треугольник $A_1B_1C_1$ будет подобен искомому треугольнику $ABC$. Из подобия следует, что их углы соответственно равны: $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$.

Теперь, имея отрезок $BC$ (данный по условию) и зная углы $\angle B$ и $\angle C$, прилежащие к этой стороне, мы можем построить искомый треугольник $ABC$.

Построение

1. Построение вспомогательного треугольника $A_1B_1C_1$:
   1. С помощью циркуля и линейки построим угол с вершиной в точке $A_1$, равный данному углу $A$.
   2. На одной из сторон угла отложим произвольный отрезок $A_1C_1$.
   3. На другой стороне угла отложим отрезок $A_1B_1$, длина которого в два раза больше длины отрезка $A_1C_1$. Это можно сделать, отложив циркулем отрезок $A_1C_1$ дважды подряд от точки $A_1$.
   4. Соединим точки $B_1$ и $C_1$ отрезком. Вспомогательный треугольник $A_1B_1C_1$ построен.
2. Построение искомого треугольника $ABC$:
   1. Проведем прямую и отложим на ней отрезок $BC$, равный данному в условии.
   2. От луча $BC$ построим угол $\angle CBM$, равный углу $\angle A_1B_1C_1$ вспомогательного треугольника.
   3. От луча $CB$ в той же полуплоскости построим угол $\angle BCN$, равный углу $\angle A_1C_1B_1$ вспомогательного треугольника.
   4. Лучи $BM$ и $CN$ пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку $A$.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.
1. Сторона $BC$ имеет заданную длину по построению.
2. В треугольнике $ABC$ углы $\angle B$ и $\angle C$ по построению равны соответственно углам $\angle B_1$ и $\angle C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то и третий угол $\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (\angle B_1 + \angle C_1) = \angle A_1$. Угол $\angle A_1$ был построен равным данному углу, следовательно, $\angle A$ в треугольнике $ABC$ равен заданному углу.
3. Поскольку $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1B_1C_1$ (по второму признаку подобия — по двум углам). Из подобия следует пропорциональность сторон: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$. Из этой пропорции следует, что $\frac{AB}{AC} = \frac{A_1B_1}{A_1C_1}$. По построению вспомогательного треугольника, мы задали $A_1B_1 = 2 \cdot A_1C_1$, значит, $\frac{A_1B_1}{A_1C_1} = 2$. Следовательно, $\frac{AB}{AC} = 2$, или $AB : AC = 2 : 1$.
Таким образом, все условия задачи выполнены.

Исследование

Построение вспомогательного треугольника $A_1B_1C_1$ возможно всегда, если данный угол $A$ удовлетворяет условию $0^\circ < \angle A < 180^\circ$. Затем, так как углы $\angle B_1$ и $\angle C_1$ однозначно определены и их сумма $\angle B_1 + \angle C_1 = 180^\circ - \angle A_1 < 180^\circ$, то построение основного треугольника $ABC$ по стороне $BC$ и двум прилежащим к ней углам ($\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$) всегда возможно и приводит к единственному решению (с точностью до выбора полуплоскости относительно прямой $BC$). Следовательно, задача всегда имеет решение, и это решение единственно.

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника подробно описан выше в пунктах "Построение", "Доказательство" и "Исследование". Задача всегда имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).