Номер 700, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

75. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 700, страница 184.

700 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен β. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и β. б) Найдите их значения, если b = 10 см, β = 50°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Обозначим его катеты как $a$ и $b$, гипотенузу как $c$. Углы, противолежащие катетам $a$ и $b$, обозначим как $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Прямой угол равен $90^\circ$. По условию задачи, один из катетов равен $b$, а противолежащий ему угол равен $\beta$.

а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через $b$ и $\beta$.

1. Противолежащий другому катету угол.
Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Пусть другой катет — это $a$, а противолежащий ему угол — $\alpha$.
$\alpha + \beta = 90^\circ$
Следовательно, угол, противолежащий другому катету, равен:
$\alpha = 90^\circ - \beta$

2. Другой катет.
По определению тангенса в прямоугольном треугольнике, тангенс угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему.
$\tan(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a}$
Отсюда выразим катет $a$:
$a = \frac{b}{\tan(\beta)}$
Так как $\frac{1}{\tan(\beta)} = \cot(\beta)$ (котангенс), то формула для другого катета:
$a = b \cdot \cot(\beta)$

3. Гипотенуза.
По определению синуса в прямоугольном треугольнике, синус угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$
Отсюда выразим гипотенузу $c$:
$c = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Ответ: другой катет равен $b \cdot \cot(\beta)$, противолежащий ему угол равен $90^\circ - \beta$, гипотенуза равна $\frac{b}{\sin(\beta)}$.

б) Найдите их значения, если $b = 10$ см, $\beta = 50^\circ$.

Подставим данные значения в формулы, полученные в пункте а).

1. Противолежащий угол $\alpha$:
$\alpha = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$

2. Другой катет $a$:
$a = 10 \cdot \cot(50^\circ)$
Используя калькулятор, находим значение $\cot(50^\circ) \approx 0.8391$.
$a \approx 10 \cdot 0.8391 \approx 8.39$ см.

3. Гипотенуза $c$:
$c = \frac{10}{\sin(50^\circ)}$
Используя калькулятор, находим значение $\sin(50^\circ) \approx 0.7660$.
$c \approx \frac{10}{0.7660} \approx 13.05$ см.

Ответ: другой катет $\approx 8.39$ см, противолежащий ему угол $40^\circ$, гипотенуза $\approx 13.05$ см.