Номер 706, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Подобные треугольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. 75. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60° - номер 706, страница 185.

Условие.

706 Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи в нижней её части, если угол наклона откосов равен 60°, а высота насыпи равна 12 м (рис. 240)?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Геометрически поперечное сечение насыпи представляет собой равнобокую трапецию. Пусть ее верхнее (меньшее) основание равно $b$, нижнее (большее) основание - $a$, а высота - $h$.

По условию задачи нам даны следующие величины:

• Ширина верхней части (меньшее основание): $b = 60$ м.
• Высота насыпи: $h = 12$ м.
• Угол наклона откосов (угол при нижнем основании трапеции): $\alpha = 60^{\circ}$.

Требуется найти ширину насыпи в нижней части, то есть длину большего основания $a$.

Для нахождения нижнего основания опустим из вершин верхнего основания высоты на нижнее. Трапеция разделится на прямоугольник и два одинаковых прямоугольных треугольника по бокам. Длина верхнего основания прямоугольника будет равна $b = 60$ м, а его высота будет равна $h = 12$ м.

Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образованных боковой стороной трапеции (откосом), высотой $h$ и частью нижнего основания. Обозначим эту часть нижнего основания как $x$. В этом треугольнике:

• Катет, противолежащий углу $\alpha$, равен высоте $h = 12$ м.
• Катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $x$.
• Угол $\alpha = 60^{\circ}$.

Соотношение между катетами и углом в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{x}$

Отсюда мы можем выразить $x$:

$x = \frac{h}{\tan(\alpha)}$

Подставим известные значения:

$x = \frac{12}{\tan(60^{\circ})}$

Так как $\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$, получаем:

$x = \frac{12}{\sqrt{3}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$x = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ м.

Нижнее основание трапеции $a$ состоит из длины верхнего основания $b$ и двух таких отрезков $x$ (по одному с каждой стороны):

$a = b + 2x$

Подставим значения $b$ и $x$:

$a = 60 + 2 \cdot (4\sqrt{3}) = 60 + 8\sqrt{3}$ м.

Ответ: $60 + 8\sqrt{3}$ м.