Номер 705, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

75. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 705, страница 185.

705 Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен α.

Для нахождения площади равнобедренной трапеции воспользуемся формулой: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота.

По условию задачи, основания трапеции равны $a = 6$ см и $b = 2$ см. Угол при большем основании равен $\alpha$. Чтобы найти площадь, нам необходимо определить высоту $h$.

Проведем из вершины меньшего основания высоту к большему основанию. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка. Длина одного из них, прилегающего к боковой стороне, равна полуразности оснований.

Найдем длину этого отрезка (назовем его $x$): $x = \frac{a-b}{2} = \frac{6-2}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Этот отрезок $x$ и высота $h$ являются катетами прямоугольного треугольника, в котором гипотенузой является боковая сторона трапеции, а один из острых углов равен $\alpha$ (угол при основании трапеции).

В этом прямоугольном треугольнике тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета ($h$) к прилежащему катету ($x$): $\text{tg}(\alpha) = \frac{h}{x}$

Отсюда можем выразить высоту $h$: $h = x \cdot \text{tg}(\alpha) = 2 \cdot \text{tg}(\alpha)$ см.

Теперь подставим все известные значения в формулу площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{6+2}{2} \cdot (2 \cdot \text{tg}(\alpha))$ $S = \frac{8}{2} \cdot 2 \cdot \text{tg}(\alpha) = 4 \cdot 2 \cdot \text{tg}(\alpha) = 8 \cdot \text{tg}(\alpha)$ см$^2$.

Ответ: $8 \cdot \text{tg}(\alpha)$ см$^2$.