Номер 707, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

75. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 707, страница 185.

707 Найдите углы ромба с диагоналями 23 и 2.

Для нахождения углов ромба воспользуемся его свойствами. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($90^\circ$), в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов ромба.

Даны длины диагоналей: $d_1 = 2\sqrt{3}$ и $d_2 = 2$.

Пересекаясь, диагонали делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Катетами каждого такого треугольника являются половины диагоналей.
Вычислим длины катетов:
Первый катет: $a = \frac{d_1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Второй катет: $b = \frac{d_2}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Теперь рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его острые углы — это половины углов ромба. Найдем величины этих острых углов, используя тригонометрические функции. Например, тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Пусть $\alpha$ — это острый угол треугольника, противолежащий катету $b=1$. Тогда:
$\tan(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Значение арктангенса для $\frac{1}{\sqrt{3}}$ равно $30^\circ$. Следовательно, $\alpha = 30^\circ$.

Пусть $\beta$ — это второй острый угол треугольника, противолежащий катету $a=\sqrt{3}$. Тогда:
$\tan(\beta) = \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.
Значение арктангенса для $\sqrt{3}$ равно $60^\circ$. Следовательно, $\beta = 60^\circ$.
(Проверка: сумма острых углов в прямоугольном треугольнике должна быть $90^\circ$: $\alpha + \beta = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$).

Поскольку диагонали являются биссектрисами, углы ромба в два раза больше найденных углов $\alpha$ и $\beta$.
Один из углов ромба равен $2 \cdot \alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.
Смежный с ним угол ромба равен $2 \cdot \beta = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

В ромбе противоположные углы равны, значит, у него есть два угла по $60^\circ$ и два угла по $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ$ и $120^\circ$.