Номер 701, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

75. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 701, страница 184.

701 В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а прилежащий к нему угол равен α. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и α. б) Найдите их значения, если b = 12 см, α = 42°.

а)

Пусть дан прямоугольный треугольник. Обозначим один из катетов как $k_1 = b$, а прилежащий к нему острый угол как $\alpha$. Требуется выразить второй катет $k_2$, прилежащий ко второму катету острый угол $\beta$ и гипотенузу $c$.

1. Второй катет ($k_2$). Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Для угла $\alpha$: $$ \tan(\alpha) = \frac{k_2}{k_1} = \frac{k_2}{b} $$ Из этого соотношения выражаем второй катет: $$ k_2 = b \cdot \tan(\alpha) $$

2. Прилежащий к нему острый угол ($\beta$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике составляет $90^\circ$. Следовательно, второй острый угол $\beta$, который прилежит ко второму катету $k_2$, равен: $$ \beta = 90^\circ - \alpha $$

3. Гипотенуза ($c$). Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $\alpha$: $$ \cos(\alpha) = \frac{k_1}{c} = \frac{b}{c} $$ Из этого соотношения выражаем гипотенузу: $$ c = \frac{b}{\cos(\alpha)} $$

Ответ: второй катет равен $b \cdot \tan(\alpha)$, прилежащий к нему острый угол равен $90^\circ - \alpha$, гипотенуза равна $\frac{b}{\cos(\alpha)}$.

б)

Теперь найдем численные значения этих величин, подставив в полученные формулы $b = 12$ см и $\alpha = 42^\circ$.

Второй катет: $$ k_2 = 12 \cdot \tan(42^\circ) $$ Используя калькулятор, находим, что $\tan(42^\circ) \approx 0.9004$. $$ k_2 \approx 12 \cdot 0.9004 \approx 10.8048 \text{ см} $$ Округлив до сотых, получаем $10.80$ см.

Прилежащий к нему острый угол: $$ \beta = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ $$

Гипотенуза: $$ c = \frac{12}{\cos(42^\circ)} $$ Используя калькулятор, находим, что $\cos(42^\circ) \approx 0.7431$. $$ c \approx \frac{12}{0.7431} \approx 16.1485 \text{ см} $$ Округлив до сотых, получаем $16.15$ см.

Ответ: второй катет $\approx 10.80$ см, прилежащий к нему острый угол равен $48^\circ$, гипотенуза $\approx 16.15$ см.