Номер 694, страница 180 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 694, страница 180.

694 Постройте треугольник ABC по углу А и медиане AM, если известно, что AB : АС = 2 : 3.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $m_a$ — длина данной медианы $AM$, а $\alpha$ — величина данного угла $A$. По условию, $AM = m_a$, $\angle BAC = \alpha$ и $AB : AC = 2 : 3$.

Воспользуемся методом вспомогательного построения. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$ так, что $AM = MD$. Тогда $AD = 2AM = 2m_a$.

Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $M$ — середина стороны $BC$. По нашему построению, $M$ — середина отрезка $AD$. Так как диагонали четырехугольника $ABDC$ в точке пересечения делятся пополам, то $ABDC$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны и параллельны. В частности, $BD = AC$ и $BD \parallel AC$.

Рассмотрим параллельные прямые $AC$ и $BD$ и секущую $AB$. Сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то есть $\angle BAC + \angle ABD = 180^\circ$. Отсюда, $\angle ABD = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - \alpha$.

Теперь рассмотрим вспомогательный треугольник $ABD$. Мы можем определить его элементы:

• Сторона $AD = 2m_a$.
• Угол $\angle ABD = 180^\circ - \alpha$.
• Отношение сторон, образующих этот угол: $AB : BD = AB : AC = 2 : 3$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ABD$ по углу, отношению прилежащих к нему сторон и длине противолежащей стороны. После построения $\triangle ABD$ можно легко найти вершину $C$, так как $M$ является серединой $AD$, а $C$ симметрична $B$ относительно $M$.

Построение

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки в следующем порядке:

1. Построить угол, равный $180^\circ - \alpha$. Для этого нужно построить угол, смежный с данным углом $\alpha$. Обозначим вершину этого угла как $B'$.
2. На сторонах построенного угла отложить отрезки, находящиеся в отношении $2:3$. Для этого выберем произвольный единичный отрезок и отложим на одном луче от точки $B'$ отрезок $B'A_1$ длиной 2 единицы, а на другом луче — отрезок $B'D_1$ длиной 3 единицы.
3. Соединить точки $A_1$ и $D_1$. Полученный треугольник $A_1B'D_1$ подобен искомому вспомогательному треугольнику $ABD$.
4. Построить отрезок $AD$ длиной $2m_a$ (удвоенная длина данной медианы $AM$).
5. Построить треугольник $ABD$, подобный треугольнику $A_1B'D_1$, на стороне $AD$. Для этого у вершины $A$ отложить угол, равный $\angle B'A_1D_1$, а у вершины $D$ — угол, равный $\angle B'D_1A_1$. Точка пересечения лучей, образующих эти углы, будет искомой вершиной $B$.
6. Найти середину $M$ отрезка $AD$ (например, с помощью построения серединного перпендикуляра).
7. Провести прямую через точки $B$ и $M$.
8. На прямой $BM$ отложить от точки $M$ отрезок $MC = BM$ так, чтобы точка $M$ находилась между $B$ и $C$.
9. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. В $\triangle ABC$ отрезок $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой $M$ стороны $BC$ (по построению $M$ - середина $BC$), значит $AM$ — медиана. Ее длина $AM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}(2m_a) = m_a$.
2. По построению $ABDC$ — параллелограмм, так как его диагонали $AD$ и $BC$ делятся точкой пересечения $M$ пополам. Следовательно, $AC \parallel BD$. Тогда $\angle BAC = 180^\circ - \angle ABD$. Угол $\angle ABD$ в $\triangle ABD$ был построен равным $180^\circ - \alpha$. Значит, $\angle BAC = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$.
3. Из параллелограмма $ABDC$ следует, что $AC = BD$. Из подобия треугольников $ABD$ и $A_1B'D_1$ следует, что отношение сторон сохраняется: $AB : BD = A_1B' : D_1B' = 2:3$. Следовательно, $AB : AC = 2:3$.

Все условия задачи выполнены.

Исследование

Задача имеет решение, если данные позволяют построить треугольники. Угол $\alpha$ должен быть в пределах $(0^\circ, 180^\circ)$, а длина медианы $m_a > 0$. При этих условиях все шаги построения выполнимы и однозначны. Построение угла $180^\circ - \alpha$ всегда возможно. Построение подобного треугольника $A_1B'D_1$ всегда возможно. Построение $\triangle ABD$ по стороне и двум прилежащим углам (которые копируются с $\triangle A_1B'D_1$) всегда возможно и однозначно, так как сумма этих углов меньше $180^\circ$. Дальнейшие построения также однозначны. Следовательно, задача всегда имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Искомый треугольник строится через вспомогательный треугольник $ABD$, где $D$ — точка, такая что $M$ (середина $BC$) является также серединой отрезка $AD$. Этот вспомогательный треугольник $ABD$ строится по стороне $AD=2AM$, углу $\angle ABD = 180^\circ - \angle A$ и отношению прилежащих к нему сторон $AB:BD=2:3$. Детальный алгоритм построения приведен выше.