Номер 690, страница 180 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 690, страница 180.

690 Разделите данный отрезок AB на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам Р₁Q₁ и P₂Q₂.

Решение

Проведём какой-нибудь луч AM, не лежащий на прямой AB, и на этом луче отложим последовательно отрезки АС и CD, равные отрезкам P₁Q₁ и P₂Q₂ (рис. 236). Затем проведём прямую BD и прямую, проходящую через точку С параллельно прямой BD. Она пересечёт отрезок AB в искомой точке X (см. задачу 663).

Решение

Задача состоит в том, чтобы найти на отрезке $AB$ такую точку $X$, для которой выполняется пропорция $\frac{AX}{XB} = \frac{P_1Q_1}{P_2Q_2}$. Построение искомой точки $X$ выполняется в несколько шагов, которые проиллюстрированы на рисунке 236.

1. Из точки $A$ проводим произвольный луч $AM$, который не лежит на прямой $AB$.
2. На луче $AM$, начиная от точки $A$, последовательно откладываем два отрезка: сначала отрезок $AC$, по длине равный отрезку $P_1Q_1$, а затем отрезок $CD$, по длине равный отрезку $P_2Q_2$. В результате получаем $AC = P_1Q_1$ и $CD = P_2Q_2$.
3. Соединяем точки $D$ и $B$ прямой линией, получая отрезок $BD$.
4. Через точку $C$ проводим прямую, параллельную прямой $BD$. Точка, в которой эта прямая пересекает отрезок $AB$, и является искомой точкой $X$.

Обоснование

Корректность данного построения основана на обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках).

Рассмотрим угол $DAB$. Его стороны $AD$ и $AB$ пересекаются двумя параллельными прямыми: $CX$ и $BD$. Мы построили прямую $CX$ параллельно $BD$ на шаге 4.

Согласно теореме о пропорциональных отрезках, если две параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Для угла $DAB$ и параллельных прямых $CX$ и $BD$ это означает, что выполняется следующее соотношение:

$\frac{AX}{XB} = \frac{AC}{CD}$

На шаге 2 мы построили отрезки $AC$ и $CD$ так, что их длины равны длинам данных отрезков $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$ соответственно, то есть $AC = P_1Q_1$ и $CD = P_2Q_2$.

Подставим эти значения в полученную пропорцию:

$\frac{AX}{XB} = \frac{P_1Q_1}{P_2Q_2}$

Это именно то соотношение, которое требовалось получить по условию задачи. Таким образом, построенная точка $X$ действительно делит отрезок $AB$ в заданном отношении.

Ответ: Искомая точка $X$ на отрезке $AB$ находится как точка пересечения этого отрезка с прямой, проведенной через точку $C$ параллельно прямой $BD$. Точки $A, C, D$ лежат на вспомогательном луче, выходящем из точки $A$, причем длины отрезков $AC$ и $CD$ равны длинам данных отрезков $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$ соответственно.