Номер 684, страница 179 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 684, страница 179.

684 Используя утверждение 2⁰, п. 71, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С выполняется равенство АС² + ВС² = AB².

Решение

Пусть CD — высота треугольника ABC (рис. 230, с. 174). На основании утверждения 2⁰, п. 65, имеем

AC = AD • AB, или AC² = AD • AB.

Аналогично ВС² = BD • AB. Складывая эти равенства почленно и учитывая, что AD + BD = AB, получаем:

АС² + ВС² = AD ⋅ AB + BD ⋅ AB = (AD + BD) ⋅ AB = AB².

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ является прямым ($\angle C = 90^\circ$). $AC$ и $BC$ — катеты, $AB$ — гипотенуза. Требуется доказать теорему Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Для доказательства проведем из вершины прямого угла $C$ высоту $CD$ на гипотенузу $AB$. Эта высота делит треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $ADC$ и $CDB$. Отрезок $AD$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу $AB$, а отрезок $BD$ — проекцией катета $BC$ на гипотенузу $AB$.

Согласно утверждению о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике (упомянутому в задаче как утверждение 2?), квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Применим это свойство для катета $AC$ треугольника $ABC$:

$AC^2 = AD \cdot AB$

Аналогично, применим это же свойство для катета $BC$:

$BC^2 = BD \cdot AB$

Теперь сложим полученные равенства почленно:

$AC^2 + BC^2 = (AD \cdot AB) + (BD \cdot AB)$

В правой части уравнения вынесем общий множитель $AB$ за скобки:

$AC^2 + BC^2 = (AD + BD) \cdot AB$

Так как точка $D$ лежит на гипотенузе $AB$, то сумма длин отрезков $AD$ и $BD$ равна длине всей гипотенузы $AB$. То есть, $AD + BD = AB$.

Подставим $AB$ вместо суммы $(AD + BD)$ в наше уравнение:

$AC^2 + BC^2 = AB \cdot AB$

В результате получаем:

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

Таким образом, мы доказали, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ выполняется равенство $AC^2 + BC^2 = AB^2$.