Номер 683, страница 179 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 683, страница 179.

683 В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и 13 см, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.

Для начала определим вид треугольника со сторонами 5 см, 12 см и 13 см. Для этого воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора. Проверим, выполняется ли равенство $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — меньшие стороны, а $c$ — большая.

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$13^2 = 169$

Поскольку $5^2 + 12^2 = 13^2$, данный треугольник является прямоугольным. Стороны длиной 5 см и 12 см являются его катетами, а большая сторона длиной 13 см — гипотенузой.

В задаче требуется найти отрезки, на которые высота делит большую сторону, то есть гипотенузу. Пусть высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки $x$ и $y$.

Для нахождения этих отрезков используются метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Согласно им, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Проекции катетов и есть искомые отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

Пусть катет $a = 5$ см, катет $b = 12$ см, а гипотенуза $c = 13$ см. Пусть $x$ — проекция катета $a$ на гипотенузу, а $y$ — проекция катета $b$ на гипотенузу.

Тогда верны следующие равенства:
$a^2 = c \cdot x$
$b^2 = c \cdot y$

Подставим известные значения и найдем длину одного отрезка (проекции катета 5 см):
$5^2 = 13 \cdot x$
$25 = 13x$
$x = \frac{25}{13}$ см.

Теперь найдем длину второго отрезка (проекции катета 12 см):
$12^2 = 13 \cdot y$
$144 = 13y$
$y = \frac{144}{13}$ см.

Таким образом, высота делит большую сторону (гипотенузу) на отрезки длиной $\frac{25}{13}$ см и $\frac{144}{13}$ см. Эти значения можно также представить в виде смешанных дробей: $1\frac{12}{13}$ см и $11\frac{1}{13}$ см.

Ответ: отрезки равны $\frac{25}{13}$ см и $\frac{144}{13}$ см.