Номер 680, страница 179 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 680, страница 179.

680 Докажите, что: а) h = abc; б) a²a_c = b²b_c.

Для доказательства данных утверждений рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором $a$ и $b$ — длины катетов, $c$ — длина гипотенузы. Пусть $h$ — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу. Точка основания высоты делит гипотенузу на два отрезка: $a_c$ и $b_c$, которые являются проекциями катетов $a$ и $b$ на гипотенузу соответственно. При этом $c = a_c + b_c$.

а) Докажем справедливость формулы $h = \frac{ab}{c}$.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами.
1. Площадь равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ab$.
2. Площадь также равна половине произведения его гипотенузы на высоту, проведенную к ней:
$S = \frac{1}{2}ch$.
Поскольку оба выражения представляют площадь одного и того же треугольника, мы можем их приравнять:
$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$.
Умножив обе части равенства на 2, получим:
$ab = ch$.
Чтобы выразить высоту $h$, разделим обе части равенства на длину гипотенузы $c$ (которая не может быть равна нулю):
$h = \frac{ab}{c}$.
Таким образом, равенство доказано.

Ответ: равенство $h = \frac{ab}{c}$ доказано.

б) Докажем справедливость равенства $\frac{a^2}{a_c} = \frac{b^2}{b_c}$.

Для доказательства воспользуемся свойством подобных треугольников. Высота $h$, проведенная из вершины прямого угла, делит исходный прямоугольный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника. Каждый из этих треугольников подобен исходному треугольнику и друг другу.

Рассмотрим подобие треугольника с катетом $a$ (стороны $a, h, a_c$) и исходного треугольника (стороны $a, b, c$). У них общий острый угол, следовательно, они подобны. Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон (катет к гипотенузе):
$\frac{a}{c} = \frac{a_c}{a}$.
Применяя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем так называемое метрическое соотношение:
$a^2 = c \cdot a_c$.

Аналогично, рассмотрим подобие треугольника с катетом $b$ (стороны $b, h, b_c$) и исходного треугольника. Они также подобны по общему острому углу. Из их подобия следует:
$\frac{b}{c} = \frac{b_c}{b}$.
Отсюда получаем второе метрическое соотношение:
$b^2 = c \cdot b_c$.

Теперь из полученных метрических соотношений выразим гипотенузу $c$:
Из $a^2 = c \cdot a_c$ следует, что $c = \frac{a^2}{a_c}$.
Из $b^2 = c \cdot b_c$ следует, что $c = \frac{b^2}{b_c}$.
Поскольку левые части обоих выражений равны (обе равны $c$), то мы можем приравнять их правые части:
$\frac{a^2}{a_c} = \frac{b^2}{b_c}$.
Таким образом, равенство доказано.

Ответ: равенство $\frac{a^2}{a_c} = \frac{b^2}{b_c}$ доказано.