Номер 675, страница 178 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 675, страница 178.

675 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD \parallel BC$. Обозначим точки $M$ и $N$ как середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Требуется доказать, что отрезок $MN$ параллелен основаниям трапеции ($MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$) и его длина равна полуразности длин оснований.

Для доказательства воспользуемся свойством средней линии треугольника. Выберем вспомогательную точку $K$ — середину боковой стороны $AB$.

Сначала рассмотрим треугольник $ABD$. В нём отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$. По определению, $KN$ является средней линией треугольника $ABD$. Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Таким образом, мы имеем:
$KN \parallel AD$ и $KN = \frac{1}{2}AD$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. В нём отрезок $KM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $KM$ является средней линией треугольника $ABC$. По тому же свойству, получаем:
$KM \parallel BC$ и $KM = \frac{1}{2}BC$.

По условию, основания трапеции параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Из этого и из полученных выше соотношений ($KN \parallel AD$ и $KM \parallel BC$) следует, что $KN \parallel KM$.

Поскольку отрезки $KN$ и $KM$ параллельны и имеют общую точку $K$, они лежат на одной прямой. Это означает, что точки $K$, $M$ и $N$ коллинеарны. Так как прямая, на которой лежат эти точки, параллельна основаниям $AD$ и $BC$, то и отрезок $MN$, являющийся её частью, также параллелен основаниям трапеции. Первая часть утверждения доказана.

Далее найдем длину отрезка $MN$. Поскольку точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой, длина отрезка $MN$ будет равна разности длин отрезков $KN$ и $KM$. Предположим, без ограничения общности, что $AD > BC$. Тогда $KN = \frac{1}{2}AD > \frac{1}{2}BC = KM$. Векторы $\vec{KN}$ и $\vec{KM}$ сонаправлены, так как они сонаправлены с векторами $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ соответственно. Значит, точка $M$ лежит между точками $K$ и $N$.
Следовательно, $MN = KN - KM$.

Подставим выражения для длин $KN$ и $KM$:
$MN = \frac{1}{2}AD - \frac{1}{2}BC = \frac{AD - BC}{2}$.

Если бы $BC > AD$, мы бы получили $MN = \frac{BC - AD}{2}$. Таким образом, в общем случае длина отрезка равна полуразности длин большего и меньшего оснований. Вторая часть утверждения также доказана.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, действительно параллелен её основаниям и его длина равна полуразности длин оснований.