Номер 670, страница 171 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Признаки подобия треугольников. 68. Третий признак подобия треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 670, страница 171.

670 В треугольнике ABC сторона AB равна а, а высота СН равна h. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне AB, а две другие — соответственно на сторонах АС и ВС.

Пусть сторона искомого квадрата равна $x$. Обозначим вершины квадрата как $K, L, M, N$ так, что вершины $K$ и $L$ лежат на стороне $AB$, вершина $N$ — на стороне $AC$, а вершина $M$ — на стороне $BC$.

Поскольку сторона квадрата $MN$ параллельна стороне $KL$, которая лежит на прямой $AB$, то $MN$ параллельна $AB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и высоту $CH$, проведенную к стороне $AB$. Длина $AB = a$ и длина $CH = h$.

Прямая $MN$, параллельная стороне $AB$, отсекает от треугольника $ABC$ подобный ему треугольник $NCM$. То есть, $?NCM \sim ?ACB$.

Найдем высоту треугольника $NCM$, проведенную из вершины $C$ к стороне $NM$. Пусть $P$ — точка пересечения высоты $CH$ и стороны $MN$. Тогда $CP$ является высотой треугольника $NCM$.

Высота квадрата равна его стороне $x$. Это расстояние между параллельными прямыми $MN$ и $AB$. Следовательно, длина отрезка $PH$ равна $x$. Тогда высота $CP$ треугольника $NCM$ равна разности высоты $CH$ и высоты квадрата:

$CP = CH - PH = h - x$

Из подобия треугольников $NCM$ и $ACB$ следует, что отношение их высот равно отношению их оснований:

$\frac{CP}{CH} = \frac{MN}{AB}$

Подставим известные значения в это соотношение:

$\frac{h - x}{h} = \frac{x}{a}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$a(h - x) = hx$

$ah - ax = hx$

$ah = hx + ax$

$ah = x(h + a)$

$x = \frac{ah}{a + h}$

Ответ: Сторона квадрата равна $\frac{ah}{a + h}$.