Номер 674, страница 178 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 674, страница 178.

674 Точки Р и Q — середины сторон AB и АС треугольника ABC. Найдите периметр треугольника ABC, если периметр треугольника APQ равен 21 см.

По условию задачи, точки $P$ и $Q$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. Это означает, что отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $ABC$.

Периметр треугольника $APQ$ ($P_{APQ}$) — это сумма длин его сторон: $P_{APQ} = AP + AQ + PQ$.

Так как $P$ — середина стороны $AB$, то длина отрезка $AP$ равна половине длины стороны $AB$: $AP = \frac{1}{2}AB$.

Аналогично, так как $Q$ — середина стороны $AC$, то длина отрезка $AQ$ равна половине длины стороны $AC$: $AQ = \frac{1}{2}AC$.

По свойству средней линии треугольника, длина отрезка $PQ$ равна половине длины третьей стороны треугольника, $BC$: $PQ = \frac{1}{2}BC$.

Теперь выразим периметр треугольника $APQ$ через стороны треугольника $ABC$. Подставим полученные соотношения в формулу периметра $P_{APQ}$: $P_{APQ} = \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $P_{APQ} = \frac{1}{2}(AB + AC + BC)$.

Выражение в скобках, $AB + AC + BC$, является периметром треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$). Таким образом, мы установили связь между периметрами двух треугольников: $P_{APQ} = \frac{1}{2}P_{ABC}$.

Из этого равенства можно выразить периметр треугольника $ABC$: $P_{ABC} = 2 \cdot P_{APQ}$.

По условию задачи, периметр треугольника $APQ$ равен 21 см. Подставим это значение в формулу: $P_{ABC} = 2 \cdot 21 = 42$ см.

Ответ: 42 см.