Номер 667, страница 170 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Подобные треугольники. Параграф 2. Признаки подобия треугольников. 68. Третий признак подобия треугольников - номер 667, страница 170.

Условие.

667 Подобны ли треугольники ABC и A₁B₁С₁, если:
а) AB = 3 см, ВС = 5 см, СА = 7 см, А₁В₁ = 4,5 см, B₁C₁ = 7,5 см, C₁A₁ = 10,5 см;
б) AB = 1,7 см, ВС = 3 см, СА = 4,2 см, А₁В₁ = 34 дм, B₁C₁ = 60 дм, С₁А₁ = 84 дм?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Два треугольника подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответственным сторонам другого треугольника. Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, необходимо проверить, выполняется ли равенство отношений их соответственных сторон:

$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{C_1A_1}{CA} = k $

где $k$ — это коэффициент подобия.

а) Даны стороны треугольников:

$\triangle ABC$: $AB = 3$ см, $BC = 5$ см, $CA = 7$ см.

$\triangle A_1B_1C_1$: $A_1B_1 = 4,5$ см, $B_1C_1 = 7,5$ см, $C_1A_1 = 10,5$ см.

Проверим отношения длин соответственных сторон:

$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{4,5}{3} = 1,5 $

$ \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{7,5}{5} = 1,5 $

$ \frac{C_1A_1}{CA} = \frac{10,5}{7} = 1,5 $

Поскольку все отношения равны $1,5$, стороны треугольников пропорциональны. Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: да, треугольники подобны.

б) Даны стороны треугольников:

$\triangle ABC$: $AB = 1,7$ см, $BC = 3$ см, $CA = 4,2$ см.

$\triangle A_1B_1C_1$: $A_1B_1 = 34$ дм, $B_1C_1 = 60$ дм, $C_1A_1 = 84$ дм.

Для сравнения необходимо привести длины сторон к одной единице измерения. Переведем дециметры в сантиметры ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$):

$A_1B_1 = 34 \text{ дм} = 340 \text{ см}$

$B_1C_1 = 60 \text{ дм} = 600 \text{ см}$

$C_1A_1 = 84 \text{ дм} = 840 \text{ см}$

Теперь проверим отношения длин соответственных сторон:

$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{340}{1,7} = \frac{3400}{17} = 200 $

$ \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{600}{3} = 200 $

$ \frac{C_1A_1}{CA} = \frac{840}{4,2} = \frac{8400}{42} = 200 $

Поскольку все отношения равны $200$, стороны треугольников пропорциональны. Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: да, треугольники подобны.