Номер 667, страница 170 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Признаки подобия треугольников. 68. Третий признак подобия треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 667, страница 170.

667 Подобны ли треугольники ABC и A₁B₁С₁, если:
а) AB = 3 см, ВС = 5 см, СА = 7 см, А₁В₁ = 4,5 см, B₁C₁ = 7,5 см, C₁A₁ = 10,5 см;
б) AB = 1,7 см, ВС = 3 см, СА = 4,2 см, А₁В₁ = 34 дм, B₁C₁ = 60 дм, С₁А₁ = 84 дм?

Два треугольника подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответственным сторонам другого треугольника. Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, необходимо проверить, выполняется ли равенство отношений их соответственных сторон:

$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{C_1A_1}{CA} = k $

где $k$ — это коэффициент подобия.

а) Даны стороны треугольников:

$\triangle ABC$: $AB = 3$ см, $BC = 5$ см, $CA = 7$ см.

$\triangle A_1B_1C_1$: $A_1B_1 = 4,5$ см, $B_1C_1 = 7,5$ см, $C_1A_1 = 10,5$ см.

Проверим отношения длин соответственных сторон:

$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{4,5}{3} = 1,5 $

$ \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{7,5}{5} = 1,5 $

$ \frac{C_1A_1}{CA} = \frac{10,5}{7} = 1,5 $

Поскольку все отношения равны $1,5$, стороны треугольников пропорциональны. Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: да, треугольники подобны.

б) Даны стороны треугольников:

$\triangle ABC$: $AB = 1,7$ см, $BC = 3$ см, $CA = 4,2$ см.

$\triangle A_1B_1C_1$: $A_1B_1 = 34$ дм, $B_1C_1 = 60$ дм, $C_1A_1 = 84$ дм.

Для сравнения необходимо привести длины сторон к одной единице измерения. Переведем дециметры в сантиметры ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$):

$A_1B_1 = 34 \text{ дм} = 340 \text{ см}$

$B_1C_1 = 60 \text{ дм} = 600 \text{ см}$

$C_1A_1 = 84 \text{ дм} = 840 \text{ см}$

Теперь проверим отношения длин соответственных сторон:

$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{340}{1,7} = \frac{3400}{17} = 200 $

$ \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{600}{3} = 200 $

$ \frac{C_1A_1}{CA} = \frac{840}{4,2} = \frac{8400}{42} = 200 $

Поскольку все отношения равны $200$, стороны треугольников пропорциональны. Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: да, треугольники подобны.