Номер 662, страница 170 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Признаки подобия треугольников. 68. Третий признак подобия треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 662, страница 170.

662 Точки М, N и Р лежат соответственно на сторонах AB, ВС и СА треугольника ABC, причём MN || AC, NP || AB. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если: а) AB = 10 см, АС = 15 см, PN : MN = 2 : 3; б) АМ = АР, AB = а, АС = b.

По условию задачи дано, что $MN \parallel AC$ и $NP \parallel AB$.

Рассмотрим четырехугольник $AMNP$. Так как точка $P$ лежит на стороне $CA$, то отрезок $AP$ лежит на прямой $AC$. Следовательно, из $MN \parallel AC$ следует, что $MN \parallel AP$.

Аналогично, так как точка $M$ лежит на стороне $AB$, то отрезок $AM$ лежит на прямой $AB$. Следовательно, из $NP \parallel AB$ следует, что $NP \parallel AM$.

Поскольку у четырехугольника $AMNP$ противолежащие стороны попарно параллельны ($MN \parallel AP$ и $NP \parallel AM$), то $AMNP$ является параллелограммом по определению.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противолежащие стороны равны. Таким образом, $AM = PN$ и $AP = MN$.

а)

Дано: $AB = 10$ см, $AC = 15$ см, $PN : MN = 2 : 3$.

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда $PN = 2x$ см и $MN = 3x$ см.

Так как $AMNP$ — параллелограмм, то $AM = PN = 2x$ и $AP = MN = 3x$.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Поскольку $MN \parallel AC$, то по теореме о подобных треугольниках, $\triangle MBN$ подобен $\triangle ABC$.

Из подобия треугольников следует соотношение сторон: $\frac{MB}{AB} = \frac{MN}{AC}$

Длина отрезка $MB$ равна $AB - AM$. Подставим известные значения: $MB = 10 - 2x$.

Теперь подставим все значения в пропорцию: $\frac{10 - 2x}{10} = \frac{3x}{15}$

Решим полученное уравнение относительно $x$: $15 \cdot (10 - 2x) = 10 \cdot 3x$
$150 - 30x = 30x$
$150 = 60x$
$x = \frac{150}{60} = \frac{15}{6} = 2.5$

Теперь найдем длины сторон четырехугольника $AMNP$:
$AM = PN = 2x = 2 \cdot 2.5 = 5$ см.
$AP = MN = 3x = 3 \cdot 2.5 = 7.5$ см.

Ответ: $AM=5$ см, $MN=7.5$ см, $NP=5$ см, $PA=7.5$ см.

б)

Дано: $AM = AP$, $AB = a$, $AC = b$.

Мы уже установили, что $AMNP$ — параллелограмм, следовательно $AM = PN$ и $AP = MN$.

По условию $AM = AP$. Из этих равенств следует, что все стороны параллелограмма равны: $AM = AP = PN = MN$.

Таким образом, $AMNP$ является ромбом. Обозначим длину стороны ромба через $s$. То есть, $AM = MN = s$.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $MN \parallel AC$, то $\triangle MBN$ подобен $\triangle ABC$.

Из подобия следует соотношение: $\frac{MB}{AB} = \frac{MN}{AC}$

Выразим $MB$ через известные величины: $MB = AB - AM = a - s$.

Подставим все выражения в пропорцию: $\frac{a - s}{a} = \frac{s}{b}$

Решим это уравнение относительно $s$: $b(a - s) = a \cdot s$
$ab - bs = as$
$ab = as + bs$
$ab = s(a + b)$
$s = \frac{ab}{a + b}$

Таким образом, все стороны четырехугольника $AMNP$ равны $\frac{ab}{a+b}$.

Ответ: $AM = MN = NP = PA = \frac{ab}{a+b}$.