Номер 669, страница 170 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Подобные треугольники. Параграф 2. Признаки подобия треугольников. 68. Третий признак подобия треугольников - номер 669, страница 170.

Условие.

669 Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12 : 5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC = 60$ см и основанием $AC$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Центр вписанной окружности, обозначим его точкой $O$, лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Так как $BH$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, то точка $O$ лежит на высоте $BH$.

По условию задачи, точка $O$ делит высоту $BH$ в отношении $BO : OH = 12 : 5$, считая от вершины $B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (т.к. $BH$ - высота, $\angle BHA = 90^\circ$). Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAH$, поскольку $O$ — центр вписанной окружности.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Применительно к биссектрисе $AO$ в треугольнике $ABH$ это свойство записывается так: $$ \frac{BO}{OH} = \frac{AB}{AH} $$

Подставим в это равенство известные нам значения: $\frac{BO}{OH} = \frac{12}{5}$ и $AB = 60$ см. $$ \frac{12}{5} = \frac{60}{AH} $$

Выразим из этой пропорции длину отрезка $AH$: $$ 12 \cdot AH = 5 \cdot 60 $$ $$ 12 \cdot AH = 300 $$ $$ AH = \frac{300}{12} = 25 \text{ см} $$

Так как высота $BH$ является и медианой, точка $H$ — это середина основания $AC$. Следовательно, длина основания $AC$ равна удвоенной длине отрезка $AH$: $$ AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 25 = 50 \text{ см} $$

Ответ: 50 см.