Номер 668, страница 170 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Признаки подобия треугольников. 68. Третий признак подобия треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 668, страница 170.

668 Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.

Чтобы доказать, что любые два равносторонних треугольника подобны, нужно показать, что они удовлетворяют одному из признаков подобия треугольников. Самый простой способ — использовать первый признак подобия (по двум углам).

Рассмотрим два произвольных равносторонних треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

По определению, в равностороннем треугольнике все стороны равны и все углы равны. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно, каждый угол равностороннего треугольника равен:
$\frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

Таким образом, для треугольника $\triangle ABC$ получаем, что все его углы равны $60^\circ$:
$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$

Аналогично для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ все углы также равны $60^\circ$:
$\angle A_1 = \angle B_1 = \angle C_1 = 60^\circ$

Теперь сравним соответственные углы этих двух треугольников:
$\angle A = \angle A_1 = 60^\circ$
$\angle B = \angle B_1 = 60^\circ$
$\angle C = \angle C_1 = 60^\circ$

Согласно первому признаку подобия треугольников, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. В нашем случае все три пары соответственных углов равны.

Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Так как мы рассматривали два произвольных равносторонних треугольника, данное доказательство справедливо для любой пары равносторонних треугольников.

Ответ: Утверждение доказано. Два равносторонних треугольника всегда подобны, так как все углы любого равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Это означает, что у любых двух таких треугольников соответственные углы равны, что является достаточным условием подобия по первому признаку (по двум или трем углам).