Страница 170 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

661 Основания трапеции равны 5 см и 8 см. Боковые стороны, равные 3,6 см и 3,9 см, продолжены до пересечения в точке М. Найдите расстояния от точки М до концов меньшего основания.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания. По условию, $BC = 5$ см, $AD = 8$ см. Боковые стороны $AB = 3.6$ см и $CD = 3.9$ см. Боковые стороны $AB$ и $CD$ продолжены до пересечения в точке $M$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MBC$ и $\triangle MAD$. Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), треугольник $\triangle MBC$ подобен треугольнику $\triangle MAD$. Подобие следует из того, что угол $\angle M$ у них общий, а углы $\angle MBC$ и $\angle MAD$ (а также $\angle MCB$ и $\angle MDA$) равны как соответственные при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущих $MA$ и $MD$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно:
$\frac{MB}{MA} = \frac{MC}{MD} = \frac{BC}{AD}$

Мы ищем расстояния от точки $M$ до концов меньшего основания, то есть длины отрезков $MB$ и $MC$. Обозначим $MB = x$ и $MC = y$.
Тогда длины сторон большего треугольника $\triangle MAD$ выражаются как:
$MA = MB + AB = x + 3.6$
$MD = MC + CD = y + 3.9$

Подставим известные значения в пропорцию для нахождения $x$ (расстояния $MB$):
$\frac{x}{x + 3.6} = \frac{5}{8}$
Используя основное свойство пропорции, получаем:
$8x = 5(x + 3.6)$
$8x = 5x + 18$
$8x - 5x = 18$
$3x = 18$
$x = 6$ см.

Аналогично найдем $y$ (расстояние $MC$):
$\frac{y}{y + 3.9} = \frac{5}{8}$
$8y = 5(y + 3.9)$
$8y = 5y + 19.5$
$8y - 5y = 19.5$
$3y = 19.5$
$y = 6.5$ см.

Ответ: 6 см и 6,5 см.

662 Точки М, N и Р лежат соответственно на сторонах AB, ВС и СА треугольника ABC, причём MN || AC, NP || AB. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если: а) AB = 10 см, АС = 15 см, PN : MN = 2 : 3; б) АМ = АР, AB = а, АС = b.

По условию задачи дано, что $MN \parallel AC$ и $NP \parallel AB$.

Рассмотрим четырехугольник $AMNP$. Так как точка $P$ лежит на стороне $CA$, то отрезок $AP$ лежит на прямой $AC$. Следовательно, из $MN \parallel AC$ следует, что $MN \parallel AP$.

Аналогично, так как точка $M$ лежит на стороне $AB$, то отрезок $AM$ лежит на прямой $AB$. Следовательно, из $NP \parallel AB$ следует, что $NP \parallel AM$.

Поскольку у четырехугольника $AMNP$ противолежащие стороны попарно параллельны ($MN \parallel AP$ и $NP \parallel AM$), то $AMNP$ является параллелограммом по определению.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противолежащие стороны равны. Таким образом, $AM = PN$ и $AP = MN$.

а)

Дано: $AB = 10$ см, $AC = 15$ см, $PN : MN = 2 : 3$.

Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда $PN = 2x$ см и $MN = 3x$ см.

Так как $AMNP$ — параллелограмм, то $AM = PN = 2x$ и $AP = MN = 3x$.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Поскольку $MN \parallel AC$, то по теореме о подобных треугольниках, $\triangle MBN$ подобен $\triangle ABC$.

Из подобия треугольников следует соотношение сторон: $\frac{MB}{AB} = \frac{MN}{AC}$

Длина отрезка $MB$ равна $AB - AM$. Подставим известные значения: $MB = 10 - 2x$.

Теперь подставим все значения в пропорцию: $\frac{10 - 2x}{10} = \frac{3x}{15}$

Решим полученное уравнение относительно $x$: $15 \cdot (10 - 2x) = 10 \cdot 3x$
$150 - 30x = 30x$
$150 = 60x$
$x = \frac{150}{60} = \frac{15}{6} = 2.5$

Теперь найдем длины сторон четырехугольника $AMNP$:
$AM = PN = 2x = 2 \cdot 2.5 = 5$ см.
$AP = MN = 3x = 3 \cdot 2.5 = 7.5$ см.

Ответ: $AM=5$ см, $MN=7.5$ см, $NP=5$ см, $PA=7.5$ см.

б)

Дано: $AM = AP$, $AB = a$, $AC = b$.

Мы уже установили, что $AMNP$ — параллелограмм, следовательно $AM = PN$ и $AP = MN$.

По условию $AM = AP$. Из этих равенств следует, что все стороны параллелограмма равны: $AM = AP = PN = MN$.

Таким образом, $AMNP$ является ромбом. Обозначим длину стороны ромба через $s$. То есть, $AM = MN = s$.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $MN \parallel AC$, то $\triangle MBN$ подобен $\triangle ABC$.

Из подобия следует соотношение: $\frac{MB}{AB} = \frac{MN}{AC}$

Выразим $MB$ через известные величины: $MB = AB - AM = a - s$.

Подставим все выражения в пропорцию: $\frac{a - s}{a} = \frac{s}{b}$

Решим это уравнение относительно $s$: $b(a - s) = a \cdot s$
$ab - bs = as$
$ab = as + bs$
$ab = s(a + b)$
$s = \frac{ab}{a + b}$

Таким образом, все стороны четырехугольника $AMNP$ равны $\frac{ab}{a+b}$.

Ответ: $AM = MN = NP = PA = \frac{ab}{a+b}$.

663 Стороны угла О пересечены параллельными прямыми AB и CD. Докажите, что отрезки ОА и АС пропорциональны отрезкам ОВ и BD (рис. 225).

Решение

Проведём через точку А прямую AC₁, параллельную прямой BD. Она пересечёт CD в точке C₁. По первому признаку подобия треугольников △OAB∾△ACC₁ (∠O=∠CAC₁, ∠OAB=∠C), следовательно, $\frac{OA}{AC}=\frac{OB}{A{C}_1}.$ Так как AC₁=BD (объясните почему), то $\frac{OA}{OB}=\frac{AC}{BD},$ что и требовалось доказать.

Для доказательства утверждения воспользуемся методом, предложенным в условии, и дополним его необходимыми обоснованиями.

Дано: Угол с вершиной в точке $O$, стороны которого пересечены параллельными прямыми $AB$ и $CD$. Точки $A$ и $C$ лежат на одной стороне угла, а точки $B$ и $D$ — на другой, причем точка $A$ лежит между $O$ и $C$, а точка $B$ — между $O$ и $D$.
$AB \parallel CD$.

Доказать: $\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{BD}$.

Доказательство:

1. Проведём через точку $A$ прямую, параллельную прямой $OD$ (на которой лежит отрезок $BD$). Пусть эта прямая пересекает прямую $CD$ в точке $C_1$. Таким образом, по построению $AC_1 \parallel BD$.

2. Теперь необходимо объяснить, почему $AC_1 = BD$. Рассмотрим четырёхугольник $AC_1DB$. В этом четырёхугольнике:

• Сторона $AC_1$ параллельна стороне $BD$ по построению.
• Сторона $AB$ параллельна стороне $C_1D$, так как по условию $AB \parallel CD$, а точка $C_1$ лежит на прямой $CD$.

Четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $AC_1DB$ — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AC_1 = BD$.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle ACC_1$. Докажем их подобие.

• Угол $\angle OAB$ равен углу $\angle ACC_1$ (или $\angle OCD$) как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $OC$.
• Угол $\angle OBA$ равен углу $\angle ODC$ как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $OD$.
• Угол $\angle AC_1C$ равен углу $\angle ODC$ как соответственные углы при параллельных прямых $AC_1$ и $OD$ и секущей $CD$.

Из последних двух равенств следует, что $\angle OBA = \angle AC_1C$. Таким образом, в треугольниках $\triangle OAB$ и $\triangle ACC_1$ есть две пары равных углов: $\angle OAB = \angle ACC_1$ и $\angle OBA = \angle AC_1C$. Следовательно, эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам): $\triangle OAB \sim \triangle ACC_1$.

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{OA}{AC} = \frac{OB}{AC_1} = \frac{AB}{CC_1} $$ Возьмём первую часть этого равенства: $\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{AC_1}$.

5. В шаге 2 мы доказали, что $AC_1 = BD$. Заменим $AC_1$ на $BD$ в полученной пропорции: $$ \frac{OA}{AC} = \frac{OB}{BD} $$ Это и есть то, что требовалось доказать. Данное равенство можно также записать в эквивалентной форме, поменяв местами средние члены пропорции: $\frac{OA}{OB} = \frac{AC}{BD}$.

Ответ: Утверждение доказано. Ключевым моментом в решении является построение вспомогательной прямой $AC_1$ параллельно $BD$, что позволяет создать параллелограмм $AC_1DB$. Из свойств параллелограмма следует, что $AC_1 = BD$. Далее, через подобие треугольников $\triangle OAB$ и $\triangle ACC_1$ устанавливается пропорция $\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{AC_1}$. Подстановка в эту пропорцию равенства $AC_1 = BD$ завершает доказательство.

664 Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DE, причём точки В и D лежат на одной стороне угла, а С и E — на другой. Найдите:
а) АС, если СЕ = 10 см, АD = 22 см, BD = 8 см;
б) BD и DE, если AB = 10 см, АС = 8 см, ВС = 4 см, СЕ = 4 см;
в) ВС, если AB : BD = 2 : 1 и DE = 12 см.

По условию задачи, стороны угла $A$ пересечены параллельными прямыми $BC$ и $DE$. Это означает, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $ADE$ ( $\triangle ABC \sim \triangle ADE$ ). Сходство следует из равенства углов: угол $A$ является общим для обоих треугольников, а углы $\angle ABC$ и $\angle ADE$ (а также $\angle ACB$ и $\angle AED$) равны как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $DE$ и секущих $AD$ и $AE$ соответственно.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$

Также, поскольку точки $B$ и $D$ лежат на одной стороне угла, а $C$ и $E$ — на другой, то $AD = AB + BD$ и $AE = AC + CE$.

а) Найти $AC$, если $CE = 10$ см, $AD = 22$ см, $BD = 8$ см.

1. Найдем длину отрезка $AB$. Так как точки $A, B, D$ лежат на одной прямой, $AB = AD - BD$.

$AB = 22 - 8 = 14$ см.

2. Обозначим искомую длину $AC$ через $x$. Тогда $AE = AC + CE = x + 10$.

3. Используем соотношение из подобия треугольников:

$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$

Подставим известные значения:

$\frac{14}{22} = \frac{x}{x + 10}$

4. Решим полученное уравнение. Сократим дробь в левой части:

$\frac{7}{11} = \frac{x}{x + 10}$

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$7 \cdot (x + 10) = 11 \cdot x$

$7x + 70 = 11x$

$11x - 7x = 70$

$4x = 70$

$x = \frac{70}{4} = 17.5$ см.

Ответ: $AC = 17.5$ см.

б) Найти $BD$ и $DE$, если $AB = 10$ см, $AC = 8$ см, $BC = 4$ см, $CE = 4$ см.

1. Найдем длину отрезка $AE$. Так как точки $A, C, E$ лежат на одной прямой, $AE = AC + CE$.

$AE = 8 + 4 = 12$ см.

2. Теперь мы можем найти коэффициент подобия $k$ треугольников $\triangle ADE$ и $\triangle ABC$, используя отношение сторон $AE$ и $AC$:

$k = \frac{AE}{AC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

3. Используем соотношение $\frac{AD}{AB} = k$ для нахождения $AD$:

$\frac{AD}{10} = \frac{3}{2} \implies AD = 10 \cdot \frac{3}{2} = 15$ см.

4. Теперь найдем $BD$:

$BD = AD - AB = 15 - 10 = 5$ см.

5. Используем соотношение $\frac{DE}{BC} = k$ для нахождения $DE$:

$\frac{DE}{4} = \frac{3}{2} \implies DE = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$ см.

Ответ: $BD = 5$ см, $DE = 6$ см.

в) Найти $BC$, если $AB : BD = 2 : 1$ и $DE = 12$ см.

1. Из соотношения $AB : BD = 2 : 1$ следует, что мы можем представить длины этих отрезков как $AB = 2x$ и $BD = x$ для некоторого положительного числа $x$.

2. Найдем длину отрезка $AD$ через $x$:

$AD = AB + BD = 2x + x = 3x$.

3. Используем соотношение из подобия треугольников:

$\frac{BC}{DE} = \frac{AB}{AD}$

Подставим известные значения и выражения через $x$:

$\frac{BC}{12} = \frac{2x}{3x}$

4. Сократим $x$ в правой части уравнения:

$\frac{BC}{12} = \frac{2}{3}$

5. Найдем $BC$:

$BC = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$ см.

Ответ: $BC = 8$ см.

665 Прямые a и b пересечены параллельными прямыми AA₁, BB₁, CC₁, причём точки А, В и С лежат на прямой а, а точки A₁, В₁ и C₁ — на прямой b. Докажите, что ABBC = A₁B₁B₁C₁.

Данное утверждение, известное как обобщенная теорема Фалеса, доказывается рассмотрением двух возможных случаев взаимного расположения прямых $a$ и $b$.

Случай 1: Прямые $a$ и $b$ не параллельны.

Поскольку прямые $a$ и $b$ не параллельны, они пересекаются в некоторой точке. Однако для доказательства удобнее использовать метод вспомогательных построений. Проведем через точку $A_1$ прямую $c$, параллельную прямой $a$. Пусть эта прямая пересекает прямые $BB_1$ и $CC_1$ в точках $K$ и $L$ соответственно.

Рассмотрим четырехугольник $ABKA_1$. По построению, прямая $c$ параллельна прямой $a$, следовательно, сторона $A_1K$ параллельна стороне $AB$. По условию задачи, прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$, следовательно, сторона $AA_1$ параллельна стороне $BK$. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Таким образом, $ABKA_1$ — параллелограмм, и по свойству параллелограмма $AB = A_1K$.

Аналогично рассмотрим четырехугольник $BCLK$. Сторона $KL$ лежит на прямой $c$, а сторона $BC$ — на прямой $a$, значит $KL \parallel BC$. Сторона $BK$ лежит на прямой $BB_1$, а сторона $CL$ — на прямой $CC_1$, значит $BK \parallel CL$. Следовательно, $BCLK$ — также параллелограмм, и $BC = KL$.

Теперь рассмотрим угол, образованный пересекающимися прямыми $b$ и $c$. Стороны этого угла пересекаются параллельными прямыми $BB_1$ и $CC_1$. Так как отрезок $B_1K$ лежит на прямой $BB_1$, а отрезок $LC_1$ — на прямой $CC_1$, то прямая, содержащая $B_1K$, параллельна прямой, содержащей $LC_1$. Применим к углу $C_1A_1L$ и параллельным прямым $B_1K$ и $C_1L$ теорему о пропорциональных отрезках (также известную как теорема Фалеса или следствие из подобия треугольников $\triangle A_1B_1K$ и $\triangle A_1LC_1$). Согласно этой теореме:

$\frac{A_1B_1}{B_1C_1} = \frac{A_1K}{KL}$

Заменив в этой пропорции отрезки $A_1K$ и $KL$ на равные им отрезки $AB$ и $BC$ соответственно, получаем:

$\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$

Что и требовалось доказать для этого случая.

Случай 2: Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. По условию, $AB$ лежит на прямой $a$, а $A_1B_1$ — на прямой $b$. Так как $a \parallel b$, то $AB \parallel A_1B_1$. Также по условию $AA_1 \parallel BB_1$. Следовательно, четырехугольник $ABB_1A_1$ является параллелограммом.

Из свойства параллелограмма следует, что длины его противолежащих сторон равны: $AB = A_1B_1$.

Аналогично рассмотрим четырехугольник $BCC_1B_1$. Стороны $BC$ и $B_1C_1$ параллельны (так как лежат на параллельных прямых $a$ и $b$), и стороны $BB_1$ и $CC_1$ параллельны по условию. Значит, $BCC_1B_1$ — параллелограмм, и $BC = B_1C_1$.

Теперь составим искомое отношение. Так как $AB = A_1B_1$ и $BC = B_1C_1$, то отношение $\frac{AB}{BC}$ равно отношению $\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$. Равенство $\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$ выполняется.

Таким образом, утверждение доказано для обоих возможных случаев.

Ответ: Утверждение доказано. В обоих случаях выполняется соотношение $\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$.

666 На одной из сторон данного угла А отложены отрезки AB = 5 см и АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки AD = 8 см и AF = 10 см. Подобны ли треугольники ACD и AFB? Ответ обоснуйте.

Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ACD$ и $AFB$, необходимо проверить, выполняется ли один из признаков подобия треугольников. Воспользуемся вторым признаком подобия (по двум сторонам и углу между ними).

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle AFB$.
1. У этих треугольников есть общий угол: $\angle A$.
2. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к этому общему углу.

В треугольнике $\triangle ACD$ стороны, образующие угол $A$, имеют длины $AC = 16$ см и $AD = 8$ см.
В треугольнике $\triangle AFB$ стороны, образующие угол $A$, имеют длины $AF = 10$ см и $AB = 5$ см.

Для подобия треугольников необходимо, чтобы отношения их соответствующих сторон были равны. Сравним отношение большей стороны одного треугольника к большей стороне другого и отношение меньшей стороны к меньшей.
Отношение больших по длине сторон:
$\frac{AC}{AF} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$
Отношение меньших по длине сторон:
$\frac{AD}{AB} = \frac{8}{5}$

Поскольку отношения сторон равны $\frac{AC}{AF} = \frac{AD}{AB}$, и угол $A$ между этими сторонами является общим, то треугольники $ACD$ и $AFB$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними).

Ответ: Да, треугольники $ACD$ и $AFB$ подобны.

667 Подобны ли треугольники ABC и A₁B₁С₁, если:
а) AB = 3 см, ВС = 5 см, СА = 7 см, А₁В₁ = 4,5 см, B₁C₁ = 7,5 см, C₁A₁ = 10,5 см;
б) AB = 1,7 см, ВС = 3 см, СА = 4,2 см, А₁В₁ = 34 дм, B₁C₁ = 60 дм, С₁А₁ = 84 дм?

Два треугольника подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответственным сторонам другого треугольника. Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, необходимо проверить, выполняется ли равенство отношений их соответственных сторон:

$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{C_1A_1}{CA} = k $

где $k$ — это коэффициент подобия.

а) Даны стороны треугольников:

$\triangle ABC$: $AB = 3$ см, $BC = 5$ см, $CA = 7$ см.

$\triangle A_1B_1C_1$: $A_1B_1 = 4,5$ см, $B_1C_1 = 7,5$ см, $C_1A_1 = 10,5$ см.

Проверим отношения длин соответственных сторон:

$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{4,5}{3} = 1,5 $

$ \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{7,5}{5} = 1,5 $

$ \frac{C_1A_1}{CA} = \frac{10,5}{7} = 1,5 $

Поскольку все отношения равны $1,5$, стороны треугольников пропорциональны. Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: да, треугольники подобны.

б) Даны стороны треугольников:

$\triangle ABC$: $AB = 1,7$ см, $BC = 3$ см, $CA = 4,2$ см.

$\triangle A_1B_1C_1$: $A_1B_1 = 34$ дм, $B_1C_1 = 60$ дм, $C_1A_1 = 84$ дм.

Для сравнения необходимо привести длины сторон к одной единице измерения. Переведем дециметры в сантиметры ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$):

$A_1B_1 = 34 \text{ дм} = 340 \text{ см}$

$B_1C_1 = 60 \text{ дм} = 600 \text{ см}$

$C_1A_1 = 84 \text{ дм} = 840 \text{ см}$

Теперь проверим отношения длин соответственных сторон:

$ \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{340}{1,7} = \frac{3400}{17} = 200 $

$ \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{600}{3} = 200 $

$ \frac{C_1A_1}{CA} = \frac{840}{4,2} = \frac{8400}{42} = 200 $

Поскольку все отношения равны $200$, стороны треугольников пропорциональны. Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: да, треугольники подобны.

668 Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.

Чтобы доказать, что любые два равносторонних треугольника подобны, нужно показать, что они удовлетворяют одному из признаков подобия треугольников. Самый простой способ — использовать первый признак подобия (по двум углам).

Рассмотрим два произвольных равносторонних треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

По определению, в равностороннем треугольнике все стороны равны и все углы равны. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно, каждый угол равностороннего треугольника равен:
$\frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

Таким образом, для треугольника $\triangle ABC$ получаем, что все его углы равны $60^\circ$:
$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$

Аналогично для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ все углы также равны $60^\circ$:
$\angle A_1 = \angle B_1 = \angle C_1 = 60^\circ$

Теперь сравним соответственные углы этих двух треугольников:
$\angle A = \angle A_1 = 60^\circ$
$\angle B = \angle B_1 = 60^\circ$
$\angle C = \angle C_1 = 60^\circ$

Согласно первому признаку подобия треугольников, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. В нашем случае все три пары соответственных углов равны.

Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Так как мы рассматривали два произвольных равносторонних треугольника, данное доказательство справедливо для любой пары равносторонних треугольников.

Ответ: Утверждение доказано. Два равносторонних треугольника всегда подобны, так как все углы любого равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Это означает, что у любых двух таких треугольников соответственные углы равны, что является достаточным условием подобия по первому признаку (по двум или трем углам).

669 Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12 : 5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = BC = 60$ см и основанием $AC$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Центр вписанной окружности, обозначим его точкой $O$, лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Так как $BH$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, то точка $O$ лежит на высоте $BH$.

По условию задачи, точка $O$ делит высоту $BH$ в отношении $BO : OH = 12 : 5$, считая от вершины $B$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (т.к. $BH$ - высота, $\angle BHA = 90^\circ$). Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAH$, поскольку $O$ — центр вписанной окружности.

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Применительно к биссектрисе $AO$ в треугольнике $ABH$ это свойство записывается так: $$ \frac{BO}{OH} = \frac{AB}{AH} $$

Подставим в это равенство известные нам значения: $\frac{BO}{OH} = \frac{12}{5}$ и $AB = 60$ см. $$ \frac{12}{5} = \frac{60}{AH} $$

Выразим из этой пропорции длину отрезка $AH$: $$ 12 \cdot AH = 5 \cdot 60 $$ $$ 12 \cdot AH = 300 $$ $$ AH = \frac{300}{12} = 25 \text{ см} $$

Так как высота $BH$ является и медианой, точка $H$ — это середина основания $AC$. Следовательно, длина основания $AC$ равна удвоенной длине отрезка $AH$: $$ AC = 2 \cdot AH = 2 \cdot 25 = 50 \text{ см} $$

Ответ: 50 см.