Страница 165 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

640 Найдите отношение отрезков AB и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах?

Найдите отношение отрезков AB и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см.

По условию задачи, длина отрезка AB составляет 15 см, а длина отрезка CD — 20 см. Отношение длин двух отрезков — это частное от деления их длин, выраженное в одинаковых единицах измерения.

Найдем отношение длины отрезка AB к длине отрезка CD:
$\frac{AB}{CD} = \frac{15 \text{ см}}{20 \text{ см}}$

Для упрощения этого отношения, сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 15 и 20 равен 5.
$\frac{15}{20} = \frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}$

Таким образом, отношение отрезка AB к отрезку CD равно $\frac{3}{4}$. Это отношение также можно представить в виде десятичной дроби: $0.75$.

Ответ: Отношение отрезков AB и CD равно $\frac{3}{4}$.

Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах?

Чтобы проверить это, сначала переведем длины отрезков из сантиметров в миллиметры. Известно, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.

Длина отрезка AB в миллиметрах:
$AB = 15 \text{ см} = 15 \times 10 \text{ мм} = 150 \text{ мм}$

Длина отрезка CD в миллиметрах:
$CD = 20 \text{ см} = 20 \times 10 \text{ мм} = 200 \text{ мм}$

Теперь найдем отношение длин отрезков, выраженных в миллиметрах:
$\frac{AB}{CD} = \frac{150 \text{ мм}}{200 \text{ мм}}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 150 и 200 равен 50.
$\frac{150}{200} = \frac{150 \div 50}{200 \div 50} = \frac{3}{4}$

Полученное отношение $\frac{3}{4}$ полностью совпадает с отношением, вычисленным в сантиметрах. Отношение двух величин не зависит от единицы измерения, если она одинакова для обеих величин.

Ответ: Нет, отношение не изменится.

641 Пропорциональны ли изображённые на рисунке 221, а) отрезки:

а) АС, CD и М₁М₂, MM₁;

б) AB, ВС, CD и ММ₂, ММ₁, M₁M₂;

в) AB, BD и MM₁, M₁M₂?

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой Фалеса (теоремой о пропорциональных отрезках). Если параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на одной прямой некоторые отрезки, то на другой прямой они отсекают пропорциональные им отрезки. В контексте данной задачи это означает, что отношение длин любых двух отрезков на одной прямой равно отношению длин соответствующих им отрезков на другой прямой. Соответствующие отрезки — это отрезки, концы которых лежат на одних и тех же парах параллельных прямых.

Из условия и рисунка 221, а) следует, что прямые $AM$, $BM_1$, $CM_2$ и $DM_3$ параллельны. Следовательно, отрезку AB соответствует отрезок $MM_1$, отрезку BC — отрезок $M_1M_2$, отрезку CD — отрезок $M_2M_3$, отрезку AC ($=AB+BC$) — отрезок $MM_2$ ($=MM_1+M_1M_2$), отрезку BD ($=BC+CD$) — отрезок $M_1M_3$ ($=M_1M_2+M_2M_3$) и так далее.

Требуется проверить, пропорциональны ли отрезки $AC$, $CD$ и $M_1M_2$, $MM_1$. Это означает, что нужно проверить истинность равенства:

$\frac{AC}{CD} = \frac{M_1M_2}{MM_1}$

Согласно теореме о пропорциональных отрезках, отношение отрезков на одной прямой равно отношению соответствующих им отрезков на другой прямой.

Отрезку $AC$ соответствует отрезок $MM_2$. Отрезку $CD$ соответствует отрезок $M_2M_3$. Значит, по теореме верно следующее равенство:

$\frac{AC}{CD} = \frac{MM_2}{M_2M_3}$

С другой стороны, отрезку $M_1M_2$ соответствует отрезок $BC$, а отрезку $MM_1$ соответствует отрезок $AB$. Значит, верно равенство:

$\frac{M_1M_2}{MM_1} = \frac{BC}{AB}$

Таким образом, исходное равенство $\frac{AC}{CD} = \frac{M_1M_2}{MM_1}$ будет верным, только если будет верно равенство $\frac{AC}{CD} = \frac{BC}{AB}$.

Это неверно в общем случае. Например, пусть точки A, B, C, D делят прямую на равные отрезки, т.е. $AB = BC = CD = x$. Тогда $AC = AB + BC = 2x$. Подставим эти значения в проверяемое равенство:

$\frac{2x}{x} = \frac{x}{x}$

$2 = 1$

Получено неверное равенство. Следовательно, отрезки не являются пропорциональными.

Ответ: нет.

Требуется проверить, пропорциональны ли наборы отрезков $(AB, BC, CD)$ и $(MM_2, M_1M_2, M_1M_3)$. Это означает, что нужно проверить истинность равенств:

$\frac{AB}{MM_2} = \frac{BC}{M_1M_2} = \frac{CD}{M_1M_3}$

Рассмотрим второе отношение в этой пропорции: $\frac{BC}{M_1M_2}$. Согласно теореме о пропорциональных отрезках, отрезку $BC$ соответствует отрезок $M_1M_2$. Отношение длин соответствующих отрезков является постоянным для данной конфигурации, обозначим его $k$. То есть $\frac{AB}{MM_1} = \frac{BC}{M_1M_2} = \frac{CD}{M_2M_3} = k$. Таким образом, $\frac{BC}{M_1M_2} = k$.

Теперь рассмотрим первое отношение: $\frac{AB}{MM_2}$. Отрезку $AB$ соответствует отрезок $MM_1$, так что $AB = k \cdot MM_1$. Отрезок $MM_2 = MM_1 + M_1M_2$. Тогда:

$\frac{AB}{MM_2} = \frac{k \cdot MM_1}{MM_1 + M_1M_2}$

Для выполнения пропорциональности необходимо, чтобы $\frac{k \cdot MM_1}{MM_1 + M_1M_2} = k$. Это равенство (при $k \neq 0$) выполняется только если $\frac{MM_1}{MM_1 + M_1M_2} = 1$, что означало бы $MM_1 = MM_1 + M_1M_2$, откуда $M_1M_2 = 0$, а это невозможно, так как точки $M_1$ и $M_2$ различны.

Поскольку уже первое равенство в предполагаемой пропорции ($\frac{AB}{MM_2} = \frac{BC}{M_1M_2}$) не выполняется в общем случае, наборы отрезков не пропорциональны.

Ответ: нет.

Требуется проверить, пропорциональны ли отрезки $AB$, $BD$ и $MM_1$, $M_1M_2$. Это означает, что нужно проверить истинность равенства:

$\frac{AB}{BD} = \frac{MM_1}{M_1M_2}$

По теореме о пропорциональных отрезках, отношение отрезков на одной прямой равно отношению соответствующих им отрезков на другой. Найдем отрезки, соответствующие $AB$ и $BD$.

Отрезку $AB$ соответствует отрезок $MM_1$.

Отрезку $BD$ (с концами в точках B и D) соответствует отрезок $M_1M_3$ (с концами в соответствующих точках $M_1$ и $M_3$).

Следовательно, по теореме Фалеса должно выполняться равенство:

$\frac{AB}{BD} = \frac{MM_1}{M_1M_3}$

Сравнивая это верное равенство с тем, которое требуется проверить, получаем, что пропорция из условия задачи верна тогда и только тогда, когда:

$\frac{MM_1}{M_1M_3} = \frac{MM_1}{M_1M_2}$

Это равенство (при $MM_1 \neq 0$) эквивалентно $M_1M_3 = M_1M_2$.

Однако, из рисунка видно, что $M_1M_3 = M_1M_2 + M_2M_3$. Таким образом, равенство $M_1M_3 = M_1M_2$ выполняется только если $M_2M_3 = 0$, то есть если точки $M_2$ и $M_3$ (а значит и C и D) совпадают. В общем случае это не так, поскольку точки C и D различны.

Следовательно, данные отрезки не пропорциональны.

Ответ: нет.

642 Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Решение

Пусть AD — биссектриса треугольника ABC. Докажем, что $\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}$ (рис. 221, б). Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту АН, поэтому $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{BD}{CD}.$ С другой стороны, эти же треугольники имеют по равному углу (∠1=∠2), поэтому $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{AB·AD}{AC·AD}=\frac{AB}{AC}.$ Из двух равенств для отношения площадей получаем $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC},$ или $\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC},$ что и требовалось доказать.

Требуется доказать, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$, где точка $D$ лежит на стороне $BC$. Необходимо доказать, что выполняется соотношение $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$.

Для доказательства воспользуемся методом площадей. Рассмотрим два треугольника $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$, на которые биссектриса $AD$ делит исходный треугольник $ABC$. Отношение площадей этих треугольников можно выразить двумя способами.

1. Выразим площади через общую высоту.Проведем из вершины $A$ высоту $AH$ к прямой, содержащей сторону $BC$. Эта высота будет общей для треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH$$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH$Найдем отношение площадей этих треугольников:$$ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH}{\frac{1}{2} \cdot CD \cdot AH} = \frac{BD}{CD} $$

2. Выразим площади через синус угла.Площадь треугольника также можно вычислить как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними.$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)$$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)$Поскольку $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, то по определению $\angle BAD = \angle CAD$. Следовательно, и синусы этих углов равны: $\sin(\angle BAD) = \sin(\angle CAD)$.Найдем отношение площадей, используя этот подход:$$ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)} = \frac{AB \cdot AD}{AC \cdot AD} = \frac{AB}{AC} $$

Приравнивая два полученных выражения для отношения площадей $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}$, получаем:$$ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} $$Данное равенство можно также записать в виде пропорции $\frac{BD}{AB} = \frac{CD}{AC}$.Таким образом, теорема о свойстве биссектрисы треугольника доказана.

Ответ: Доказано, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для треугольника $ABC$ с биссектрисой $AD$ это свойство выражается формулой $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$.