Страница 171 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

670 В треугольнике ABC сторона AB равна а, а высота СН равна h. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне AB, а две другие — соответственно на сторонах АС и ВС.

Пусть сторона искомого квадрата равна $x$. Обозначим вершины квадрата как $K, L, M, N$ так, что вершины $K$ и $L$ лежат на стороне $AB$, вершина $N$ — на стороне $AC$, а вершина $M$ — на стороне $BC$.

Поскольку сторона квадрата $MN$ параллельна стороне $KL$, которая лежит на прямой $AB$, то $MN$ параллельна $AB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и высоту $CH$, проведенную к стороне $AB$. Длина $AB = a$ и длина $CH = h$.

Прямая $MN$, параллельная стороне $AB$, отсекает от треугольника $ABC$ подобный ему треугольник $NCM$. То есть, $?NCM \sim ?ACB$.

Найдем высоту треугольника $NCM$, проведенную из вершины $C$ к стороне $NM$. Пусть $P$ — точка пересечения высоты $CH$ и стороны $MN$. Тогда $CP$ является высотой треугольника $NCM$.

Высота квадрата равна его стороне $x$. Это расстояние между параллельными прямыми $MN$ и $AB$. Следовательно, длина отрезка $PH$ равна $x$. Тогда высота $CP$ треугольника $NCM$ равна разности высоты $CH$ и высоты квадрата:

$CP = CH - PH = h - x$

Из подобия треугольников $NCM$ и $ACB$ следует, что отношение их высот равно отношению их оснований:

$\frac{CP}{CH} = \frac{MN}{AB}$

Подставим известные значения в это соотношение:

$\frac{h - x}{h} = \frac{x}{a}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$a(h - x) = hx$

$ah - ax = hx$

$ah = hx + ax$

$ah = x(h + a)$

$x = \frac{ah}{a + h}$

Ответ: Сторона квадрата равна $\frac{ah}{a + h}$.

671 Через точку М, взятую на медиане AD треугольника ABC, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке K. Найдите отношение AKKC, если: а) М — середина отрезка AD; б) AMMD = 12.

a)

Для решения задачи воспользуемся методом дополнительных построений.

1. Проведем через точку $ D $ прямую, параллельную прямой $ BK $. Пусть точка пересечения этой прямой со стороной $ AC $ будет $ P $. Таким образом, у нас есть $ DP \parallel BK $.

2. Рассмотрим треугольник $ CBK $. Поскольку $ AD $ — медиана, точка $ D $ является серединой стороны $ BC $. Так как $ D $ — середина $ BC $ и $ DP \parallel BK $, то по теореме Фалеса (или по свойству средней линии треугольника) точка $ P $ является серединой отрезка $ CK $. Следовательно, $ KP = PC $, из чего следует, что $ KC = 2KP $.

3. Теперь рассмотрим треугольник $ ADP $. Отрезок $ MK $ параллелен отрезку $ DP $, так как $ M $ и $ K $ лежат на прямой $ BK $, а мы построили $ DP \parallel BK $. Применим теорему о пропорциональных отрезках к углу $ \angle CAD $, стороны которого пересечены параллельными прямыми $ MK $ и $ DP $:

$ \frac{AK}{KP} = \frac{AM}{MD} $

В условии пункта а) сказано, что $ M $ — середина отрезка $ AD $. Это означает, что $ AM = MD $, и, следовательно, $ \frac{AM}{MD} = 1 $.

4. Из этого следует, что $ \frac{AK}{KP} = 1 $, то есть $ AK = KP $.

5. Объединим полученные результаты: $ KC = 2KP $ и $ AK = KP $. Заменив $ KP $ на $ AK $ в первом равенстве, получим $ KC = 2AK $.

6. Теперь найдем искомое отношение:

$ \frac{AK}{KC} = \frac{AK}{2AK} = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

б)

Решение для этого случая аналогично предыдущему, но с другим соотношением для точки $ M $.

1. Используем то же самое дополнительное построение: проведем прямую $ DP $ параллельно $ BK $, где $ P $ — точка на стороне $ AC $.

2. Как и в пункте а), из рассмотрения $ \triangle CBK $ следует, что $ D $ — середина $ BC $ и $ DP \parallel BK $, поэтому $ P $ — середина $ CK $, и $ KC = 2KP $.

3. Снова применим теорему о пропорциональных отрезках к углу $ \angle CAD $ и параллельным прямым $ MK $ и $ DP $:

$ \frac{AK}{KP} = \frac{AM}{MD} $

4. По условию пункта б), $ \frac{AM}{MD} = \frac{1}{2} $. Подставив это значение в формулу, получаем:

$ \frac{AK}{KP} = \frac{1}{2} $

Отсюда следует, что $ KP = 2AK $.

5. Теперь подставим полученное выражение для $ KP $ в равенство из шага 2:

$ KC = 2KP = 2(2AK) = 4AK $.

6. Наконец, находим искомое отношение:

$ \frac{AK}{KC} = \frac{AK}{4AK} = \frac{1}{4} $.

Ответ: $ \frac{1}{4} $