Номер 665, страница 170 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Признаки подобия треугольников. 68. Третий признак подобия треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 665, страница 170.

665 Прямые a и b пересечены параллельными прямыми AA₁, BB₁, CC₁, причём точки А, В и С лежат на прямой а, а точки A₁, В₁ и C₁ — на прямой b. Докажите, что ABBC = A₁B₁B₁C₁.

Данное утверждение, известное как обобщенная теорема Фалеса, доказывается рассмотрением двух возможных случаев взаимного расположения прямых $a$ и $b$.

Случай 1: Прямые $a$ и $b$ не параллельны.

Поскольку прямые $a$ и $b$ не параллельны, они пересекаются в некоторой точке. Однако для доказательства удобнее использовать метод вспомогательных построений. Проведем через точку $A_1$ прямую $c$, параллельную прямой $a$. Пусть эта прямая пересекает прямые $BB_1$ и $CC_1$ в точках $K$ и $L$ соответственно.

Рассмотрим четырехугольник $ABKA_1$. По построению, прямая $c$ параллельна прямой $a$, следовательно, сторона $A_1K$ параллельна стороне $AB$. По условию задачи, прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$, следовательно, сторона $AA_1$ параллельна стороне $BK$. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Таким образом, $ABKA_1$ — параллелограмм, и по свойству параллелограмма $AB = A_1K$.

Аналогично рассмотрим четырехугольник $BCLK$. Сторона $KL$ лежит на прямой $c$, а сторона $BC$ — на прямой $a$, значит $KL \parallel BC$. Сторона $BK$ лежит на прямой $BB_1$, а сторона $CL$ — на прямой $CC_1$, значит $BK \parallel CL$. Следовательно, $BCLK$ — также параллелограмм, и $BC = KL$.

Теперь рассмотрим угол, образованный пересекающимися прямыми $b$ и $c$. Стороны этого угла пересекаются параллельными прямыми $BB_1$ и $CC_1$. Так как отрезок $B_1K$ лежит на прямой $BB_1$, а отрезок $LC_1$ — на прямой $CC_1$, то прямая, содержащая $B_1K$, параллельна прямой, содержащей $LC_1$. Применим к углу $C_1A_1L$ и параллельным прямым $B_1K$ и $C_1L$ теорему о пропорциональных отрезках (также известную как теорема Фалеса или следствие из подобия треугольников $\triangle A_1B_1K$ и $\triangle A_1LC_1$). Согласно этой теореме:

$\frac{A_1B_1}{B_1C_1} = \frac{A_1K}{KL}$

Заменив в этой пропорции отрезки $A_1K$ и $KL$ на равные им отрезки $AB$ и $BC$ соответственно, получаем:

$\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$

Что и требовалось доказать для этого случая.

Случай 2: Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Рассмотрим четырехугольник $ABB_1A_1$. По условию, $AB$ лежит на прямой $a$, а $A_1B_1$ — на прямой $b$. Так как $a \parallel b$, то $AB \parallel A_1B_1$. Также по условию $AA_1 \parallel BB_1$. Следовательно, четырехугольник $ABB_1A_1$ является параллелограммом.

Из свойства параллелограмма следует, что длины его противолежащих сторон равны: $AB = A_1B_1$.

Аналогично рассмотрим четырехугольник $BCC_1B_1$. Стороны $BC$ и $B_1C_1$ параллельны (так как лежат на параллельных прямых $a$ и $b$), и стороны $BB_1$ и $CC_1$ параллельны по условию. Значит, $BCC_1B_1$ — параллелограмм, и $BC = B_1C_1$.

Теперь составим искомое отношение. Так как $AB = A_1B_1$ и $BC = B_1C_1$, то отношение $\frac{AB}{BC}$ равно отношению $\frac{A_1B_1}{B_1C_1}$. Равенство $\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$ выполняется.

Таким образом, утверждение доказано для обоих возможных случаев.

Ответ: Утверждение доказано. В обоих случаях выполняется соотношение $\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$.