Номер 660, страница 169 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Подобные треугольники. Параграф 2. Признаки подобия треугольников. 68. Третий признак подобия треугольников - номер 660, страница 169.

Условие.

660 Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углу? Ответ обоснуйте.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения задачи воспользуемся первым признаком подобия треугольников (по двум углам): если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Также используем свойство равнобедренного треугольника, согласно которому углы при его основании равны, и теорему о сумме углов треугольника, которая составляет $180^\circ$.

а) по равному острому углу;
Нет, не всегда. Равный острый угол в двух равнобедренных треугольниках может занимать разное положение: быть углом при вершине в одном треугольнике и углом при основании в другом. Это может привести к тому, что наборы углов треугольников будут различаться.
Приведем контрпример. Пусть заданный равный острый угол равен $40^\circ$.
Рассмотрим первый равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен $40^\circ$. Тогда его углы при основании будут равны: $(180^\circ - 40^\circ) / 2 = 140^\circ / 2 = 70^\circ$. Углы этого треугольника: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.
Рассмотрим второй равнобедренный треугольник, у которого угол при основании равен $40^\circ$. Тогда второй угол при основании также равен $40^\circ$, а угол при вершине будет равен: $180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. Углы этого треугольника: $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$.
Оба треугольника имеют равный острый угол $40^\circ$, но их углы не равны друг другу ($40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$ и $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$). Следовательно, по первому признаку подобия эти треугольники не подобны.
Ответ: не обязательно.

б) по равному тупому углу;
Да, всегда подобны. В любом треугольнике может быть не более одного тупого угла (угла больше $90^\circ$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы они были тупыми, их сумма превысила бы $180^\circ$, что противоречит теореме о сумме углов треугольника. Значит, тупым может быть только угол при вершине.
Пусть два равнобедренных треугольника имеют равный тупой угол $\gamma$ при вершине. Тогда в первом треугольнике углы при основании равны $(180^\circ - \gamma) / 2$. Во втором треугольнике углы при основании также равны $(180^\circ - \gamma) / 2$.
Поскольку все три угла одного треугольника ($\gamma, (180^\circ - \gamma) / 2, (180^\circ - \gamma) / 2$) соответственно равны трем углам другого, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия.
Ответ: да.

в) по прямому углу?
Да, всегда подобны. Аргументация схожа с предыдущим пунктом. В треугольнике может быть только один прямой угол ($90^\circ$). Если бы в равнобедренном треугольнике углы при основании были прямыми, их сумма составила бы $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, что невозможно, так как на третий угол (при вершине) остается $0^\circ$. Следовательно, прямой угол в равнобедренном треугольнике может быть только углом при вершине.
Таким образом, любой равнобедренный треугольник, имеющий прямой угол, является прямоугольным равнобедренным треугольником. Угол при его вершине равен $90^\circ$, а углы при основании равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.
Это означает, что любые два равнобедренных треугольника с прямым углом будут иметь одинаковый набор углов: $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$. Следовательно, они подобны по первому признаку подобия.
Ответ: да.