Номер 660, страница 169 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
§ 2. Признаки подобия треугольников. 68. Третий признак подобия треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 660, страница 169.
№660 (с. 169)
Условие. №660 (с. 169)
скриншот условия

660 Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углу? Ответ обоснуйте.
Решение 2. №660 (с. 169)



Решение 3. №660 (с. 169)

Решение 4. №660 (с. 169)

Решение 6. №660 (с. 169)

Решение 7. №660 (с. 169)


Решение 9. №660 (с. 169)


Решение 11. №660 (с. 169)
Для решения задачи воспользуемся первым признаком подобия треугольников (по двум углам): если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Также используем свойство равнобедренного треугольника, согласно которому углы при его основании равны, и теорему о сумме углов треугольника, которая составляет $180^\circ$.
а) по равному острому углу;
Нет, не всегда. Равный острый угол в двух равнобедренных треугольниках может занимать разное положение: быть углом при вершине в одном треугольнике и углом при основании в другом. Это может привести к тому, что наборы углов треугольников будут различаться.
Приведем контрпример. Пусть заданный равный острый угол равен $40^\circ$.
Рассмотрим первый равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен $40^\circ$. Тогда его углы при основании будут равны: $(180^\circ - 40^\circ) / 2 = 140^\circ / 2 = 70^\circ$. Углы этого треугольника: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.
Рассмотрим второй равнобедренный треугольник, у которого угол при основании равен $40^\circ$. Тогда второй угол при основании также равен $40^\circ$, а угол при вершине будет равен: $180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. Углы этого треугольника: $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$.
Оба треугольника имеют равный острый угол $40^\circ$, но их углы не равны друг другу ($40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$ и $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$). Следовательно, по первому признаку подобия эти треугольники не подобны.
Ответ: не обязательно.
б) по равному тупому углу;
Да, всегда подобны. В любом треугольнике может быть не более одного тупого угла (угла больше $90^\circ$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы они были тупыми, их сумма превысила бы $180^\circ$, что противоречит теореме о сумме углов треугольника. Значит, тупым может быть только угол при вершине.
Пусть два равнобедренных треугольника имеют равный тупой угол $\gamma$ при вершине. Тогда в первом треугольнике углы при основании равны $(180^\circ - \gamma) / 2$. Во втором треугольнике углы при основании также равны $(180^\circ - \gamma) / 2$.
Поскольку все три угла одного треугольника ($\gamma, (180^\circ - \gamma) / 2, (180^\circ - \gamma) / 2$) соответственно равны трем углам другого, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия.
Ответ: да.
в) по прямому углу?
Да, всегда подобны. Аргументация схожа с предыдущим пунктом. В треугольнике может быть только один прямой угол ($90^\circ$). Если бы в равнобедренном треугольнике углы при основании были прямыми, их сумма составила бы $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, что невозможно, так как на третий угол (при вершине) остается $0^\circ$. Следовательно, прямой угол в равнобедренном треугольнике может быть только углом при вершине.
Таким образом, любой равнобедренный треугольник, имеющий прямой угол, является прямоугольным равнобедренным треугольником. Угол при его вершине равен $90^\circ$, а углы при основании равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.
Это означает, что любые два равнобедренных треугольника с прямым углом будут иметь одинаковый набор углов: $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$. Следовательно, они подобны по первому признаку подобия.
Ответ: да.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 660 расположенного на странице 169 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №660 (с. 169), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.