Номер 663, страница 170 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Признаки подобия треугольников. 68. Третий признак подобия треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 663, страница 170.

663 Стороны угла О пересечены параллельными прямыми AB и CD. Докажите, что отрезки ОА и АС пропорциональны отрезкам ОВ и BD (рис. 225).

Решение

Проведём через точку А прямую AC₁, параллельную прямой BD. Она пересечёт CD в точке C₁. По первому признаку подобия треугольников △OAB∾△ACC₁ (∠O=∠CAC₁, ∠OAB=∠C), следовательно, $\frac{OA}{AC}=\frac{OB}{A{C}_1}.$ Так как AC₁=BD (объясните почему), то $\frac{OA}{OB}=\frac{AC}{BD},$ что и требовалось доказать.

Для доказательства утверждения воспользуемся методом, предложенным в условии, и дополним его необходимыми обоснованиями.

Дано: Угол с вершиной в точке $O$, стороны которого пересечены параллельными прямыми $AB$ и $CD$. Точки $A$ и $C$ лежат на одной стороне угла, а точки $B$ и $D$ — на другой, причем точка $A$ лежит между $O$ и $C$, а точка $B$ — между $O$ и $D$.
$AB \parallel CD$.

Доказать: $\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{BD}$.

Доказательство:

1. Проведём через точку $A$ прямую, параллельную прямой $OD$ (на которой лежит отрезок $BD$). Пусть эта прямая пересекает прямую $CD$ в точке $C_1$. Таким образом, по построению $AC_1 \parallel BD$.

2. Теперь необходимо объяснить, почему $AC_1 = BD$. Рассмотрим четырёхугольник $AC_1DB$. В этом четырёхугольнике:

• Сторона $AC_1$ параллельна стороне $BD$ по построению.
• Сторона $AB$ параллельна стороне $C_1D$, так как по условию $AB \parallel CD$, а точка $C_1$ лежит на прямой $CD$.

Четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $AC_1DB$ — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AC_1 = BD$.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle ACC_1$. Докажем их подобие.

• Угол $\angle OAB$ равен углу $\angle ACC_1$ (или $\angle OCD$) как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $OC$.
• Угол $\angle OBA$ равен углу $\angle ODC$ как соответственные углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $OD$.
• Угол $\angle AC_1C$ равен углу $\angle ODC$ как соответственные углы при параллельных прямых $AC_1$ и $OD$ и секущей $CD$.

Из последних двух равенств следует, что $\angle OBA = \angle AC_1C$. Таким образом, в треугольниках $\triangle OAB$ и $\triangle ACC_1$ есть две пары равных углов: $\angle OAB = \angle ACC_1$ и $\angle OBA = \angle AC_1C$. Следовательно, эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам): $\triangle OAB \sim \triangle ACC_1$.

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{OA}{AC} = \frac{OB}{AC_1} = \frac{AB}{CC_1} $$ Возьмём первую часть этого равенства: $\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{AC_1}$.

5. В шаге 2 мы доказали, что $AC_1 = BD$. Заменим $AC_1$ на $BD$ в полученной пропорции: $$ \frac{OA}{AC} = \frac{OB}{BD} $$ Это и есть то, что требовалось доказать. Данное равенство можно также записать в эквивалентной форме, поменяв местами средние члены пропорции: $\frac{OA}{OB} = \frac{AC}{BD}$.

Ответ: Утверждение доказано. Ключевым моментом в решении является построение вспомогательной прямой $AC_1$ параллельно $BD$, что позволяет создать параллелограмм $AC_1DB$. Из свойств параллелограмма следует, что $AC_1 = BD$. Далее, через подобие треугольников $\triangle OAB$ и $\triangle ACC_1$ устанавливается пропорция $\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{AC_1}$. Подстановка в эту пропорцию равенства $AC_1 = BD$ завершает доказательство.