Номер 661, страница 170 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Признаки подобия треугольников. 68. Третий признак подобия треугольников. Глава 8. Подобные треугольники - номер 661, страница 170.

661 Основания трапеции равны 5 см и 8 см. Боковые стороны, равные 3,6 см и 3,9 см, продолжены до пересечения в точке М. Найдите расстояния от точки М до концов меньшего основания.

Пусть дана трапеция $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания. По условию, $BC = 5$ см, $AD = 8$ см. Боковые стороны $AB = 3.6$ см и $CD = 3.9$ см. Боковые стороны $AB$ и $CD$ продолжены до пересечения в точке $M$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MBC$ и $\triangle MAD$. Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), треугольник $\triangle MBC$ подобен треугольнику $\triangle MAD$. Подобие следует из того, что угол $\angle M$ у них общий, а углы $\angle MBC$ и $\angle MAD$ (а также $\angle MCB$ и $\angle MDA$) равны как соответственные при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущих $MA$ и $MD$.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно:
$\frac{MB}{MA} = \frac{MC}{MD} = \frac{BC}{AD}$

Мы ищем расстояния от точки $M$ до концов меньшего основания, то есть длины отрезков $MB$ и $MC$. Обозначим $MB = x$ и $MC = y$.
Тогда длины сторон большего треугольника $\triangle MAD$ выражаются как:
$MA = MB + AB = x + 3.6$
$MD = MC + CD = y + 3.9$

Подставим известные значения в пропорцию для нахождения $x$ (расстояния $MB$):
$\frac{x}{x + 3.6} = \frac{5}{8}$
Используя основное свойство пропорции, получаем:
$8x = 5(x + 3.6)$
$8x = 5x + 18$
$8x - 5x = 18$
$3x = 18$
$x = 6$ см.

Аналогично найдем $y$ (расстояние $MC$):
$\frac{y}{y + 3.9} = \frac{5}{8}$
$8y = 5(y + 3.9)$
$8y = 5y + 19.5$
$8y - 5y = 19.5$
$3y = 19.5$
$y = 6.5$ см.

Ответ: 6 см и 6,5 см.