Номер 677, страница 178 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 677, страница 178.

677 В треугольнике ABC медианы АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника ABО равна S.

В задачах 678—680 использованы следующие обозначения для прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С и высотой СН: ВС = а, СА = b, AB = с, СН = h, АН = b_c, НВ = а_c.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ медианы $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $O$, и площадь треугольника $ABO$ равна $S$.

Точка пересечения медиан треугольника, по определению, является его центроидом. Свойство центроида заключается в том, что он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, для медианы $AA_1$ справедливо соотношение: $$ AO : OA_1 = 2:1 $$

Рассмотрим треугольники $ABO$ и $A_1BO$. У них общая высота, проведенная из вершины $B$ к прямой $AA_1$. Площади треугольников с общей высотой относятся так же, как и их основания. Следовательно: $$ \frac{S_{ABO}}{S_{A_1BO}} = \frac{AO}{OA_1} = \frac{2}{1} $$ Зная, что $S_{ABO} = S$, мы можем выразить площадь треугольника $A_1BO$: $$ S_{A_1BO} = \frac{1}{2} S_{ABO} = \frac{S}{2} $$

Площадь треугольника $ABA_1$ является суммой площадей треугольников $ABO$ и $A_1BO$: $$ S_{ABA_1} = S_{ABO} + S_{A_1BO} = S + \frac{S}{2} = \frac{3S}{2} $$

По свойству медианы, $AA_1$ делит треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника (треугольника с равными площадями) - $ABA_1$ и $ACA_1$. Таким образом, площадь треугольника $ABA_1$ равна половине площади всего треугольника $ABC$: $$ S_{ABA_1} = \frac{1}{2} S_{ABC} $$

Теперь приравняем два полученных выражения для площади $S_{ABA_1}$: $$ \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{3S}{2} $$ Умножив обе части равенства на 2, найдем искомую площадь треугольника $ABC$: $$ S_{ABC} = 3S $$

Ответ: $3S$