Номер 682, страница 179 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 682, страница 179.

682 Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6 : 5.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза. Пусть высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит ее на отрезки $c_a$ и $c_b$, которые являются проекциями катетов $a$ и $b$ на гипотенузу соответственно.

Из условия задачи известно, что катеты относятся как $6:5$:
$\frac{a}{b} = \frac{6}{5}$

Также известно, что один из отрезков гипотенузы на 11 см больше другого. В прямоугольном треугольнике большему катету соответствует большая проекция на гипотенузу. Поскольку из отношения $\frac{a}{b} = \frac{6}{5}$ следует, что $a > b$, то и проекция $c_a$ больше проекции $c_b$. Таким образом:
$c_a = c_b + 11$

Воспользуемся метрическим соотношением в прямоугольном треугольнике, которое связывает катеты и их проекции на гипотенузу. Из формул $a^2 = c \cdot c_a$ и $b^2 = c \cdot c_b$ следует, что отношение квадратов катетов равно отношению их проекций:
$\frac{a^2}{b^2} = \frac{c \cdot c_a}{c \cdot c_b} = \frac{c_a}{c_b}$

Возведем в квадрат данное в условии отношение катетов:
$\frac{a^2}{b^2} = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25}$

Отсюда получаем соотношение между проекциями:
$\frac{c_a}{c_b} = \frac{36}{25}$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений для нахождения длин отрезков $c_a$ и $c_b$:
1) $c_a = c_b + 11$
2) $\frac{c_a}{c_b} = \frac{36}{25}$

Подставим выражение для $c_a$ из первого уравнения во второе:
$\frac{c_b + 11}{c_b} = \frac{36}{25}$

Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции:
$25(c_b + 11) = 36c_b$
$25c_b + 275 = 36c_b$
$36c_b - 25c_b = 275$
$11c_b = 275$
$c_b = \frac{275}{11} = 25$ см.

Теперь найдем длину второго, большего отрезка $c_a$:
$c_a = c_b + 11 = 25 + 11 = 36$ см.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин ее сегментов:
$c = c_a + c_b = 36 + 25 = 61$ см.

Ответ: 61 см.