Страница 179 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

679 Выразите а_с и b_с через а, b и с.

Для решения этой задачи воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где a и b — катеты, c — гипотенуза. Обозначим через a_c проекцию катета a на гипотенузу и через b_c — проекцию катета b на гипотенузу.

a_c
Согласно одному из метрических соотношений, квадрат длины катета равен произведению длины гипотенузы на длину проекции этого катета на гипотенузу. Для катета a это соотношение имеет вид:
$a^2 = c \cdot a_c$
Чтобы выразить a_c, необходимо разделить обе части уравнения на c (длина гипотенузы c не равна нулю):
$a_c = \frac{a^2}{c}$
Ответ: $a_c = \frac{a^2}{c}$

b_c
Аналогичное метрическое соотношение справедливо и для катета b:
$b^2 = c \cdot b_c$
Выразим b_c, разделив обе части этого уравнения на c:
$b_c = \frac{b^2}{c}$
Ответ: $b_c = \frac{b^2}{c}$

680 Докажите, что: а) h = abc; б) a²a_c = b²b_c.

Для доказательства данных утверждений рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором $a$ и $b$ — длины катетов, $c$ — длина гипотенузы. Пусть $h$ — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу. Точка основания высоты делит гипотенузу на два отрезка: $a_c$ и $b_c$, которые являются проекциями катетов $a$ и $b$ на гипотенузу соответственно. При этом $c = a_c + b_c$.

а) Докажем справедливость формулы $h = \frac{ab}{c}$.

Площадь $S$ прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами.
1. Площадь равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2}ab$.
2. Площадь также равна половине произведения его гипотенузы на высоту, проведенную к ней:
$S = \frac{1}{2}ch$.
Поскольку оба выражения представляют площадь одного и того же треугольника, мы можем их приравнять:
$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$.
Умножив обе части равенства на 2, получим:
$ab = ch$.
Чтобы выразить высоту $h$, разделим обе части равенства на длину гипотенузы $c$ (которая не может быть равна нулю):
$h = \frac{ab}{c}$.
Таким образом, равенство доказано.

Ответ: равенство $h = \frac{ab}{c}$ доказано.

б) Докажем справедливость равенства $\frac{a^2}{a_c} = \frac{b^2}{b_c}$.

Для доказательства воспользуемся свойством подобных треугольников. Высота $h$, проведенная из вершины прямого угла, делит исходный прямоугольный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника. Каждый из этих треугольников подобен исходному треугольнику и друг другу.

Рассмотрим подобие треугольника с катетом $a$ (стороны $a, h, a_c$) и исходного треугольника (стороны $a, b, c$). У них общий острый угол, следовательно, они подобны. Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон (катет к гипотенузе):
$\frac{a}{c} = \frac{a_c}{a}$.
Применяя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем так называемое метрическое соотношение:
$a^2 = c \cdot a_c$.

Аналогично, рассмотрим подобие треугольника с катетом $b$ (стороны $b, h, b_c$) и исходного треугольника. Они также подобны по общему острому углу. Из их подобия следует:
$\frac{b}{c} = \frac{b_c}{b}$.
Отсюда получаем второе метрическое соотношение:
$b^2 = c \cdot b_c$.

Теперь из полученных метрических соотношений выразим гипотенузу $c$:
Из $a^2 = c \cdot a_c$ следует, что $c = \frac{a^2}{a_c}$.
Из $b^2 = c \cdot b_c$ следует, что $c = \frac{b^2}{b_c}$.
Поскольку левые части обоих выражений равны (обе равны $c$), то мы можем приравнять их правые части:
$\frac{a^2}{a_c} = \frac{b^2}{b_c}$.
Таким образом, равенство доказано.

Ответ: равенство $\frac{a^2}{a_c} = \frac{b^2}{b_c}$ доказано.

681 Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого обозначим как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.

Согласно условию задачи, отношение катетов составляет $a : b = 3 : 4$. Мы можем выразить их через коэффициент пропорциональности $x$: $a = 3x$ и $b = 4x$. Длина гипотенузы дана: $c = 50$ мм.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим наши выражения для катетов и значение гипотенузы в формулу:

$(3x)^2 + (4x)^2 = 50^2$

$9x^2 + 16x^2 = 2500$

$25x^2 = 2500$

$x^2 = \frac{2500}{25}$

$x^2 = 100$

Поскольку длина отрезка должна быть положительной, $x = \sqrt{100} = 10$.

Теперь мы можем найти длины катетов:

$a = 3x = 3 \cdot 10 = 30$ мм.

$b = 4x = 4 \cdot 10 = 40$ мм.

Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, делит ее на два отрезка. Эти отрезки являются проекциями катетов на гипотенузу. Обозначим их $c_a$ (проекция катета $a$) и $c_b$ (проекция катета $b$).

Используем метрические соотношения в прямоугольном треугольнике: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Для катета $a$ соотношение выглядит так: $a^2 = c \cdot c_a$.

Подставим известные значения и найдем отрезок $c_a$:

$30^2 = 50 \cdot c_a$

$900 = 50 \cdot c_a$

$c_a = \frac{900}{50} = 18$ мм.

Для катета $b$ соотношение выглядит так: $b^2 = c \cdot c_b$.

Подставим известные значения и найдем отрезок $c_b$:

$40^2 = 50 \cdot c_b$

$1600 = 50 \cdot c_b$

$c_b = \frac{1600}{50} = 32$ мм.

Для проверки можно сложить длины полученных отрезков: $18 + 32 = 50$ мм, что равно длине гипотенузы.

Ответ: высота делит гипотенузу на отрезки длиной 18 мм и 32 мм.

682 Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6 : 5.

Пусть $a$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника, а $c$ — его гипотенуза. Пусть высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит ее на отрезки $c_a$ и $c_b$, которые являются проекциями катетов $a$ и $b$ на гипотенузу соответственно.

Из условия задачи известно, что катеты относятся как $6:5$:
$\frac{a}{b} = \frac{6}{5}$

Также известно, что один из отрезков гипотенузы на 11 см больше другого. В прямоугольном треугольнике большему катету соответствует большая проекция на гипотенузу. Поскольку из отношения $\frac{a}{b} = \frac{6}{5}$ следует, что $a > b$, то и проекция $c_a$ больше проекции $c_b$. Таким образом:
$c_a = c_b + 11$

Воспользуемся метрическим соотношением в прямоугольном треугольнике, которое связывает катеты и их проекции на гипотенузу. Из формул $a^2 = c \cdot c_a$ и $b^2 = c \cdot c_b$ следует, что отношение квадратов катетов равно отношению их проекций:
$\frac{a^2}{b^2} = \frac{c \cdot c_a}{c \cdot c_b} = \frac{c_a}{c_b}$

Возведем в квадрат данное в условии отношение катетов:
$\frac{a^2}{b^2} = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25}$

Отсюда получаем соотношение между проекциями:
$\frac{c_a}{c_b} = \frac{36}{25}$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений для нахождения длин отрезков $c_a$ и $c_b$:
1) $c_a = c_b + 11$
2) $\frac{c_a}{c_b} = \frac{36}{25}$

Подставим выражение для $c_a$ из первого уравнения во второе:
$\frac{c_b + 11}{c_b} = \frac{36}{25}$

Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции:
$25(c_b + 11) = 36c_b$
$25c_b + 275 = 36c_b$
$36c_b - 25c_b = 275$
$11c_b = 275$
$c_b = \frac{275}{11} = 25$ см.

Теперь найдем длину второго, большего отрезка $c_a$:
$c_a = c_b + 11 = 25 + 11 = 36$ см.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин ее сегментов:
$c = c_a + c_b = 36 + 25 = 61$ см.

Ответ: 61 см.

683 В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и 13 см, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.

Для начала определим вид треугольника со сторонами 5 см, 12 см и 13 см. Для этого воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора. Проверим, выполняется ли равенство $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — меньшие стороны, а $c$ — большая.

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$13^2 = 169$

Поскольку $5^2 + 12^2 = 13^2$, данный треугольник является прямоугольным. Стороны длиной 5 см и 12 см являются его катетами, а большая сторона длиной 13 см — гипотенузой.

В задаче требуется найти отрезки, на которые высота делит большую сторону, то есть гипотенузу. Пусть высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки $x$ и $y$.

Для нахождения этих отрезков используются метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Согласно им, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Проекции катетов и есть искомые отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

Пусть катет $a = 5$ см, катет $b = 12$ см, а гипотенуза $c = 13$ см. Пусть $x$ — проекция катета $a$ на гипотенузу, а $y$ — проекция катета $b$ на гипотенузу.

Тогда верны следующие равенства:
$a^2 = c \cdot x$
$b^2 = c \cdot y$

Подставим известные значения и найдем длину одного отрезка (проекции катета 5 см):
$5^2 = 13 \cdot x$
$25 = 13x$
$x = \frac{25}{13}$ см.

Теперь найдем длину второго отрезка (проекции катета 12 см):
$12^2 = 13 \cdot y$
$144 = 13y$
$y = \frac{144}{13}$ см.

Таким образом, высота делит большую сторону (гипотенузу) на отрезки длиной $\frac{25}{13}$ см и $\frac{144}{13}$ см. Эти значения можно также представить в виде смешанных дробей: $1\frac{12}{13}$ см и $11\frac{1}{13}$ см.

Ответ: отрезки равны $\frac{25}{13}$ см и $\frac{144}{13}$ см.

684 Используя утверждение 2⁰, п. 71, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С выполняется равенство АС² + ВС² = AB².

Решение

Пусть CD — высота треугольника ABC (рис. 230, с. 174). На основании утверждения 2⁰, п. 65, имеем

AC = AD • AB, или AC² = AD • AB.

Аналогично ВС² = BD • AB. Складывая эти равенства почленно и учитывая, что AD + BD = AB, получаем:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ является прямым ($\angle C = 90^\circ$). $AC$ и $BC$ — катеты, $AB$ — гипотенуза. Требуется доказать теорему Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Для доказательства проведем из вершины прямого угла $C$ высоту $CD$ на гипотенузу $AB$. Эта высота делит треугольник $ABC$ на два меньших прямоугольных треугольника: $ADC$ и $CDB$. Отрезок $AD$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу $AB$, а отрезок $BD$ — проекцией катета $BC$ на гипотенузу $AB$.

Согласно утверждению о метрических соотношениях в прямоугольном треугольнике (упомянутому в задаче как утверждение 2?), квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Применим это свойство для катета $AC$ треугольника $ABC$:

$AC^2 = AD \cdot AB$

Аналогично, применим это же свойство для катета $BC$:

$BC^2 = BD \cdot AB$

Теперь сложим полученные равенства почленно:

$AC^2 + BC^2 = (AD \cdot AB) + (BD \cdot AB)$

В правой части уравнения вынесем общий множитель $AB$ за скобки:

$AC^2 + BC^2 = (AD + BD) \cdot AB$

Так как точка $D$ лежит на гипотенузе $AB$, то сумма длин отрезков $AD$ и $BD$ равна длине всей гипотенузы $AB$. То есть, $AD + BD = AB$.

Подставим $AB$ вместо суммы $(AD + BD)$ в наше уравнение:

$AC^2 + BC^2 = AB \cdot AB$

В результате получаем:

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

Таким образом, мы доказали, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ выполняется равенство $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

685 Для определения высоты столба A₁C₁, на рисунке 232, с. 177, использован шест с вращающейся планкой. Чему равна высота столба, если BC₁ = 6,3 м, ВС = 3,4 м, АС = 1,7 м?

Для решения этой задачи используется метод подобных треугольников. Предположим, что столб $A_1C_1$ и шест $AC$ стоят вертикально на ровной поверхности земли. Наблюдение ведется из точки $B$, которая лежит на одной прямой с основаниями шеста ($C$) и столба ($C_1$).

В этом случае образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle BCA$ (образован шестом, землей и линией взгляда) и $\triangle BC_1A_1$ (образован столбом, землей и линией взгляда).

Так как шест $AC$ и столб $A_1C_1$ перпендикулярны земле, то углы $\angle BCA$ и $\angle BC_1A_1$ являются прямыми, то есть $\angle BCA = \angle BC_1A_1 = 90^\circ$. Угол при вершине $B$ (угол наблюдения) является общим для обоих треугольников.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого (по прямому углу и общему углу $\angle B$), треугольники $\triangle BCA$ и $\triangle BC_1A_1$ подобны по первому признаку подобия.

Из подобия треугольников следует, что их соответствующие стороны пропорциональны. Мы можем записать следующее соотношение для катетов:
$ \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{BC_1}{BC} $

По условию задачи нам известны следующие величины:
Высота шеста $AC = 1,7$ м.
Расстояние от наблюдателя до шеста $BC = 3,4$ м.
Расстояние от наблюдателя до столба $BC_1 = 6,3$ м.

Обозначим искомую высоту столба $A_1C_1$ через $x$ и подставим известные значения в пропорцию:
$ \frac{x}{1,7} = \frac{6,3}{3,4} $

Теперь выразим $x$ из этого уравнения:
$ x = 1,7 \cdot \frac{6,3}{3,4} $

Можно заметить, что $3,4 = 2 \cdot 1,7$. Это позволяет упростить вычисления:
$ x = 1,7 \cdot \frac{6,3}{2 \cdot 1,7} $
Сократив $1,7$ в числителе и знаменателе, получаем:
$ x = \frac{6,3}{2} $
$ x = 3,15 $ м.

Таким образом, высота столба $A_1C_1$ равна 3,15 м.

Ответ: 3,15 м.

686 Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,7 м, равна 2,5 м. Найдите высоту дерева.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. В один и тот же момент времени солнце освещает предметы под одним и тем же углом. Таким образом, прямоугольные треугольники, образованные деревом и его тенью, а также человеком и его тенью, подобны друг другу.

Пусть $H$ — высота дерева, а $L_{дерева}$ — длина его тени. Пусть $h$ — рост человека, а $L_{человека}$ — длина его тени.

Из подобия треугольников следует, что отношение высоты объекта к длине его тени будет одинаковым для дерева и для человека. Мы можем составить пропорцию:

$\frac{H}{L_{дерева}} = \frac{h}{L_{человека}}$

Нам известны следующие значения:

• Длина тени дерева $L_{дерева} = 10,2$ м
• Рост человека $h = 1,7$ м
• Длина тени человека $L_{человека} = 2,5$ м

Подставим эти значения в пропорцию, чтобы найти неизвестную высоту дерева $H$:

$\frac{H}{10,2} = \frac{1,7}{2,5}$

Теперь выразим $H$ из этого уравнения:

$H = \frac{1,7 \cdot 10,2}{2,5}$

Произведем вычисления:

$H = \frac{17,34}{2,5}$

$H = 6,936$ м

Ответ: высота дерева равна 6,936 м.

687 Для определения высоты дерева можно использовать зеркало так, как показано на рисунке 234. Луч света FD, отражаясь от зеркала в точке D, попадает в глаз человека (точку В). Определите высоту дерева, если АС=165см, ВС=12см, AD=120см, DЕ=4,8м, ∠1=∠2.

Для решения задачи воспользуемся свойством подобных треугольников. На рисунке изображены два треугольника: $\triangle ABD$ (образован ростом наблюдателя, расстоянием до зеркала и лучом света) и $\triangle FED$ (образован высотой дерева, расстоянием от дерева до зеркала и лучом света).

1. Найдем высоту глаз наблюдателя над землей. Она равна высоте наблюдателя до макушки ($AC$) минус расстояние от макушки до глаз ($BC$). Обозначим высоту глаз как $AB$.

$AB = AC - BC = 165 \text{ см} - 12 \text{ см} = 153 \text{ см}$.

2. Для удобства расчетов приведем все известные величины к одной единице измерения — метрам.

• Высота глаз наблюдателя: $AB = 153 \text{ см} = 1.53 \text{ м}$.
• Расстояние от наблюдателя до зеркала: $AD = 120 \text{ см} = 1.2 \text{ м}$.
• Расстояние от зеркала до дерева: $DE = 4.8 \text{ м}$.

3. Докажем подобие треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle FED$.

Предполагается, что и наблюдатель, и дерево стоят перпендикулярно поверхности земли. Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle FED$ являются прямоугольными:

$\angle{A} = \angle{E} = 90^\circ$.

По закону отражения света, угол падения луча равен углу отражения. В данном контексте это означает, что углы, которые образуют лучи с поверхностью зеркала, равны. По условию задачи дано, что $\angle{1} = \angle{2}$.

Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle FED$ имеют по два равных угла: $\angle{A} = \angle{E}$ и $\angle{BDA} = \angle{FDE}$ (так как $\angle{BDA} = \angle{1}$ и $\angle{FDE} = \angle{2}$). Следовательно, $\triangle ABD \sim \triangle FED$ по первому признаку подобия треугольников (по двум углам).

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{AB}{FE} = \frac{AD}{DE}$

Здесь $FE$ — искомая высота дерева. Подставим известные значения в пропорцию:

$\frac{1.53}{FE} = \frac{1.2}{4.8}$

5. Выразим и найдем $FE$:

$FE = \frac{1.53 \cdot 4.8}{1.2}$

Сократим дробь $\frac{4.8}{1.2}$:

$\frac{4.8}{1.2} = \frac{48}{12} = 4$

Теперь вычислим высоту дерева:

$FE = 1.53 \cdot 4 = 6.12 \text{ м}$

Ответ: 6.12 м.