Страница 180 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

688 Для определения расстояния от точки А до недоступной точки В на местности выбрали точку С и измерили отрезок АС, углы ВАС и АСВ. Затем построили на бумаге треугольник А₁В₁С₁, подобный треугольнику ABC. Найдите AB, если АС = 42 м, A₁C₁ = 6,3 см, A₁B₁ = 7,2 см.

По условию задачи, треугольник $A_1B_1C_1$, построенный на бумаге, подобен треугольнику $ABC$ на местности. Обозначим это как $?ABC \sim ?A_1B_1C_1$.

Основное свойство подобных треугольников заключается в том, что отношения длин их соответственных сторон равны. Запишем это в виде пропорции:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$

Для нахождения неизвестного расстояния $AB$ нам достаточно использовать первую часть равенства, так как все остальные величины в ней известны:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$

Выразим из этой пропорции искомую сторону $AB$:

$AB = A_1B_1 \cdot \frac{AC}{A_1C_1}$

В задаче даны следующие значения:
$AC = 42$ м
$A_1C_1 = 6,3$ см
$A_1B_1 = 7,2$ см

Чтобы выполнить вычисления, необходимо привести все размеры к одной единице измерения. Переведём метры в сантиметры:

$AC = 42 \text{ м} = 42 \cdot 100 \text{ см} = 4200 \text{ см}$

Теперь подставим числовые значения в формулу для $AB$:

$AB = 7,2 \text{ см} \cdot \frac{4200 \text{ см}}{6,3 \text{ см}}$

Произведем вычисления:

$AB = 7,2 \cdot \frac{42000}{63} = 7,2 \cdot \frac{2000 \cdot 21}{3 \cdot 21} = 7,2 \cdot \frac{2000}{3}$

$AB = \frac{7,2}{3} \cdot 2000 = 2,4 \cdot 2000 = 4800 \text{ см}$

Полученное расстояние выражено в сантиметрах. Для ответа вернемся к метрам, так как это более подходящая единица измерения для расстояний на местности:

$4800 \text{ см} = \frac{4800}{100} \text{ м} = 48 \text{ м}$

Ответ: $48$ м.

689 На рисунке 235 показано, как можно определить ширину ВВ₁ реки, рассматривая два подобных треугольника ABC и AB₁C₁. Определите ВВ₁, если АС=100м, АС₁=32м, AB₁=34м.

Согласно условию задачи, треугольники $ABC$ и $AB_1C_1$ подобны. Это означает, что их соответствующие стороны пропорциональны.

Запишем соотношение для соответствующих сторон:

$\frac{AB}{AB_1} = \frac{AC}{AC_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$

Нам известны следующие длины: $AC = 100$ м, $AC_1 = 32$ м и $AB_1 = 34$ м. Чтобы найти ширину реки $BB_1$, нам сначала нужно определить длину отрезка $AB$. Для этого воспользуемся частью пропорции, связывающей известные нам стороны:

$\frac{AB}{AB_1} = \frac{AC}{AC_1}$

Подставим известные значения в эту формулу:

$\frac{AB}{34} = \frac{100}{32}$

Теперь выразим $AB$:

$AB = \frac{100 \cdot 34}{32} = \frac{3400}{32} = \frac{425}{4} = 106,25$ м.

Ширина реки $BB_1$ равна разности длин отрезков $AB$ и $AB_1$. Точки $A$, $B_1$ и $B$ лежат на одной прямой, поэтому:

$BB_1 = AB - AB_1$

Подставим найденные и известные значения:

$BB_1 = 106,25 - 34 = 72,25$ м.

Ответ: 72,25 м.

690 Разделите данный отрезок AB на два отрезка АХ и ХВ, пропорциональные данным отрезкам Р₁Q₁ и P₂Q₂.

Решение

Проведём какой-нибудь луч AM, не лежащий на прямой AB, и на этом луче отложим последовательно отрезки АС и CD, равные отрезкам P₁Q₁ и P₂Q₂ (рис. 236). Затем проведём прямую BD и прямую, проходящую через точку С параллельно прямой BD. Она пересечёт отрезок AB в искомой точке X (см. задачу 663).

Решение

Задача состоит в том, чтобы найти на отрезке $AB$ такую точку $X$, для которой выполняется пропорция $\frac{AX}{XB} = \frac{P_1Q_1}{P_2Q_2}$. Построение искомой точки $X$ выполняется в несколько шагов, которые проиллюстрированы на рисунке 236.

1. Из точки $A$ проводим произвольный луч $AM$, который не лежит на прямой $AB$.
2. На луче $AM$, начиная от точки $A$, последовательно откладываем два отрезка: сначала отрезок $AC$, по длине равный отрезку $P_1Q_1$, а затем отрезок $CD$, по длине равный отрезку $P_2Q_2$. В результате получаем $AC = P_1Q_1$ и $CD = P_2Q_2$.
3. Соединяем точки $D$ и $B$ прямой линией, получая отрезок $BD$.
4. Через точку $C$ проводим прямую, параллельную прямой $BD$. Точка, в которой эта прямая пересекает отрезок $AB$, и является искомой точкой $X$.

Обоснование

Корректность данного построения основана на обобщенной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках).

Рассмотрим угол $DAB$. Его стороны $AD$ и $AB$ пересекаются двумя параллельными прямыми: $CX$ и $BD$. Мы построили прямую $CX$ параллельно $BD$ на шаге 4.

Согласно теореме о пропорциональных отрезках, если две параллельные прямые пересекают стороны угла, то они отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Для угла $DAB$ и параллельных прямых $CX$ и $BD$ это означает, что выполняется следующее соотношение:

$\frac{AX}{XB} = \frac{AC}{CD}$

На шаге 2 мы построили отрезки $AC$ и $CD$ так, что их длины равны длинам данных отрезков $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$ соответственно, то есть $AC = P_1Q_1$ и $CD = P_2Q_2$.

Подставим эти значения в полученную пропорцию:

$\frac{AX}{XB} = \frac{P_1Q_1}{P_2Q_2}$

Это именно то соотношение, которое требовалось получить по условию задачи. Таким образом, построенная точка $X$ действительно делит отрезок $AB$ в заданном отношении.

Ответ: Искомая точка $X$ на отрезке $AB$ находится как точка пересечения этого отрезка с прямой, проведенной через точку $C$ параллельно прямой $BD$. Точки $A, C, D$ лежат на вспомогательном луче, выходящем из точки $A$, причем длины отрезков $AC$ и $CD$ равны длинам данных отрезков $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$ соответственно.

691 Начертите отрезок AB и разделите его в отношении: а) 2 : 5; б) 3 : 7; в) 4 : 3.

Для решения данной задачи используется метод, основанный на теореме Фалеса (или теореме о пропорциональных отрезках). Алгоритм построения для каждого случая будет следующим:

Чтобы разделить отрезок AB в отношении 2 : 5, нужно мысленно разбить его на $2 + 5 = 7$ равных частей и найти точку, которая отделяет 2 части от остальных 5.

1. Начертите произвольный отрезок AB.
2. Из точки A проведите луч AC, не лежащий на прямой AB, под любым удобным острым углом.
3. На луче AC с помощью циркуля отложите от точки A семь ($2+5=7$) равных отрезков произвольной длины. Обозначим концы отрезков точками $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6, C_7$.
4. Соедините последнюю точку $C_7$ с точкой B отрезком прямой.
5. Теперь через точку $C_2$ (соответствующую первому числу в отношении) проведите прямую, параллельную отрезку $C_7B$. Для этого можно, например, построить угол при вершине $C_2$, равный углу $AC_7B$.
6. Точка D, в которой эта параллельная прямая пересечет отрезок AB, и будет искомой точкой.

По теореме о пропорциональных отрезках, поскольку $DC_2 \parallel BC_7$, то прямые отсекают на сторонах угла $CAB$ пропорциональные отрезки. Это значит, что $AD : DB = AC_2 : C_2C_7$. По построению, отрезок $AC_2$ состоит из 2 равных частей, а отрезок $C_2C_7$ — из $7-2=5$ таких же частей. Следовательно, $AD : DB = 2 : 5$.

Ответ: Построенная точка D делит отрезок AB в отношении 2 : 5.

Чтобы разделить отрезок AB в отношении 3 : 7, необходимо разбить его на $3 + 7 = 10$ равных частей.

1. Начертите произвольный отрезок AB.
2. Из точки A проведите луч AC под произвольным углом к AB.
3. На луче AC с помощью циркуля отложите от точки A десять ($3+7=10$) последовательных равных отрезков. Обозначим их концы $C_1, C_2, \dots, C_{10}$.
4. Соедините точку $C_{10}$ с точкой B.
5. Через точку $C_3$ (соответствующую первому числу в отношении) проведите прямую, параллельную отрезку $C_{10}B$.
6. Точка пересечения этой прямой с отрезком AB, обозначенная как D, разделит отрезок AB в заданном отношении.

Аналогично предыдущему пункту, по теореме о пропорциональных отрезках, $AD : DB = AC_3 : C_3C_{10}$. Так как отрезок $AC_3$ содержит 3 единичных отрезка, а $C_3C_{10}$ содержит $10-3=7$ таких же отрезков, то $AD : DB = 3 : 7$.

Ответ: Построенная точка D делит отрезок AB в отношении 3 : 7.

Для деления отрезка AB в отношении 4 : 3, его нужно разбить на $4 + 3 = 7$ равных частей.

1. Начертите произвольный отрезок AB.
2. Из точки A проведите вспомогательный луч AC.
3. На луче AC отложите семь ($4+3=7$) равных отрезков. Обозначим их концы $C_1, C_2, \dots, C_7$.
4. Соедините точку $C_7$ с точкой B.
5. Через точку $C_4$ (соответствующую первому числу в отношении) проведите прямую, параллельную отрезку $C_7B$.
6. Точка D, где построенная прямая пересекает отрезок AB, является искомой.

Согласно теореме Фалеса, $AD : DB = AC_4 : C_4C_7$. По построению, $AC_4$ состоит из 4 равных частей, а $C_4C_7$ состоит из $7-4=3$ таких же частей. Таким образом, $AD : DB = 4 : 3$.

Ответ: Построенная точка D делит отрезок AB в отношении 4 : 3.

692 Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведённой из вершины меньшего из данных углов.

Пусть нам даны два угла, $\alpha$ и $\beta$, и отрезок $l$, равный длине биссектрисы. Без ограничения общности, предположим, что $\alpha$ — меньший из двух данных углов ($\alpha < \beta$). Требуется построить треугольник $ABC$, в котором $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, а биссектриса $AD$, проведенная из вершины $A$, имеет длину $l$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. В этом треугольнике $AD$ является биссектрисой угла $A$, и ее длина равна $l$. Точка $D$ лежит на стороне $BC$.

Так как $AD$ — биссектриса, она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. В нем нам известны следующие элементы:

• длина стороны $AD = l$;
• величина угла $\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$;
• величина угла $\angle ABD = \angle B = \beta$.

Из теоремы о сумме углов треугольника мы можем найти третий угол треугольника $ABD$:

$\angle ADB = 180^\circ - (\angle BAD + \angle ABD) = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \beta)$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $ABD$ по стороне $AD$ и двум прилежащим к ней углам: $\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle ADB = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \beta)$. Это стандартная задача на построение (по стороне и двум прилежащим углам).

После того как треугольник $ABD$ будет построен, мы будем иметь вершины $A$, $B$ и точку $D$. Вершина $C$ искомого треугольника должна лежать на прямой, проходящей через точки $B$ и $D$. Также вершина $C$ должна лежать на луче, выходящем из точки $A$ под углом $\frac{\alpha}{2}$ к лучу $AD$ (так как $\angle CAD = \frac{\alpha}{2}$).

Следовательно, вершина $C$ — это точка пересечения прямой $BD$ и луча $AC$. На основе этого анализа можно составить план построения.

Построение

1. С помощью циркуля и линейки построим угол, равный $\frac{\alpha}{2}$, разделив данный угол $\alpha$ пополам.
2. Построим угол $\gamma'$, равный $180^\circ - (\beta + \frac{\alpha}{2})$. Для этого на произвольной прямой в некоторой точке отложим последовательно (в одной полуплоскости) углы $\beta$ и $\frac{\alpha}{2}$. Угол, смежный с их суммой, и будет искомым углом $\gamma'$.
3. Теперь построим треугольник $ABD$:
1. Проведем прямую и отложим на ней отрезок $AD$, равный по длине данному отрезку $l$.
2. От луча $AD$ в точке $A$ отложим угол, равный $\frac{\alpha}{2}$. Получим луч $AX$.
3. От луча $DA$ в точке $D$ отложим угол, равный $\gamma'$. Получим луч $DY$. (Лучи $AX$ и $DY$ должны лежать в одной полуплоскости относительно прямой $AD$).
4. Точка пересечения лучей $AX$ и $DY$ будет вершиной $B$.
4. Проведем прямую через точки $B$ и $D$.
5. От луча $AD$ отложим угол $\angle DAC$, равный $\frac{\alpha}{2}$, в полуплоскости, противоположной той, где лежит точка $B$.
6. Точка пересечения луча $AC$ с прямой $BD$ и будет искомой вершиной $C$.
7. Соединим вершины $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• По построению, отрезок $AD$ имеет длину $l$.
• Угол $\angle BAC$ состоит из двух углов, $\angle BAD$ и $\angle CAD$. По построению, $\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle CAD = \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, $\angle BAC = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$. Также из этого следует, что $AD$ является биссектрисой угла $A$.
• Рассмотрим треугольник $ABD$. По построению, $\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle ADB = 180^\circ - (\beta + \frac{\alpha}{2})$. По теореме о сумме углов треугольника, угол $\angle B$ (он же $\angle ABD$) равен: $\angle ABD = 180^\circ - (\angle BAD + \angle ADB) = 180^\circ - \left(\frac{\alpha}{2} + 180^\circ - \beta - \frac{\alpha}{2}\right) = \beta$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет угол $\angle A = \alpha$, угол $\angle B = \beta$, и биссектрису $AD$ длиной $l$. Все условия задачи выполнены.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда указанные построения выполнимы и приводят к единственному результату (с точностью до конгруэнтности).

1. Для того чтобы треугольник $ABC$ существовал, необходимо, чтобы сумма его углов $\alpha$ и $\beta$ была меньше $180^\circ$. Если $\alpha + \beta \geq 180^\circ$, то третий угол будет $\leq 0$, что невозможно. Итак, необходимое условие: $\alpha + \beta < 180^\circ$.

2. Построение вспомогательного треугольника $ABD$ всегда возможно, если $\angle BAD + \angle ABD < 180^\circ$, то есть $\frac{\alpha}{2} + \beta < 180^\circ$. Так как $\alpha > 0$, то $\frac{\alpha}{2} < \alpha$. Если выполняется условие $\alpha + \beta < 180^\circ$, то и $\frac{\alpha}{2} + \beta < 180^\circ$ будет выполняться автоматически.

3. Вершина $C$ находится как пересечение прямой $BD$ и луча $AC$. Это пересечение существует и единственно, если прямая и луч не параллельны. Они будут параллельны, если сумма внутренних односторонних углов при секущей $AD$ равна $180^\circ$. Эти углы — $\angle CAD$ и $\angle ADC$. Мы имеем $\angle CAD = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - \left(180^\circ - (\beta + \frac{\alpha}{2})\right) = \beta + \frac{\alpha}{2}$. Их сумма равна $\angle CAD + \angle ADC = \frac{\alpha}{2} + \beta + \frac{\alpha}{2} = \alpha + \beta$. Таким образом, для пересечения необходимо, чтобы $\alpha + \beta \neq 180^\circ$. А так как углы треугольника положительны, то для существования третьего угла $C$ необходимо $\alpha + \beta < 180^\circ$.

Вывод: задача имеет единственное решение (с точностью до выбора положения и ориентации на плоскости) тогда и только тогда, когда сумма данных углов меньше $180^\circ$.

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника описан в разделе "Построение". Задача имеет единственное решение при выполнении условия $\alpha + \beta < 180^\circ$.

693 Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла.

Пусть нам даны два угла $\alpha$ и $\beta$ и высота $h$, проведенная из вершины третьего угла. Необходимо построить треугольник $ABC$, в котором, например, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, а высота из вершины $C$ (обозначим ее $CH$) равна $h$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $CH$ — его высота, проведенная к стороне $AB$ (или ее продолжению), причем $CH = h$. Высота $CH$ перпендикулярна прямой $AB$. Таким образом, образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$.

В треугольнике $AHC$ катет $CH=h$, а угол при вершине $A$ равен $\alpha$. В треугольнике $BHC$ катет $CH=h$, а угол при вершине $B$ равен $\beta$.

Из свойств прямоугольного треугольника мы можем найти углы $\angle ACH$ и $\angle BCH$.

Если угол $\alpha$ острый ($\alpha < 90^\circ$), то в $\triangle AHC$ угол $\angle ACH = 90^\circ - \alpha$. Если угол $\alpha$ тупой ($\alpha > 90^\circ$), то основание высоты $H$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $A$. Угол $\angle CAH$ смежный с углом $\alpha$, поэтому $\angle CAH = 180^\circ - \alpha$. Тогда $\angle ACH = 90^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha - 90^\circ$. Если $\alpha = 90^\circ$, то вершина $A$ совпадает с $H$.

Аналогичные рассуждения верны и для угла $\beta$ и треугольника $BHC$.

Таким образом, мы можем построить эти два прямоугольных треугольника с общим катетом $CH=h$, и тем самым построить искомый треугольник $ABC$. План построения основан на этой идее.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $a$. Эта прямая будет содержать сторону искомого треугольника.

2. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $H$.

3. Через точку $H$ проведем прямую $b$, перпендикулярную прямой $a$.

4. На прямой $b$ отложим отрезок $HC$, равный по длине данной высоте $h$. Точка $C$ — третья вершина искомого треугольника.

5. Теперь построим лучи из вершины $C$, которые в пересечении с прямой $a$ дадут нам вершины $A$ и $B$. Рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: Оба угла $\alpha$ и $\beta$ острые ($\alpha < 90^\circ, \beta < 90^\circ$).
В этом случае основание высоты $H$ лежит между вершинами $A$ и $B$. По одну сторону от прямой $CH$ построим угол $\angle HCK = 90^\circ - \alpha$. По другую сторону от прямой $CH$ построим угол $\angle HCM = 90^\circ - \beta$. Лучи $CK$ и $CM$ пересекут прямую $a$ в точках $A$ и $B$ соответственно.

Случай 2: Один из углов тупой, например, $\alpha > 90^\circ$ (тогда $\beta < 90^\circ$, так как $\alpha+\beta < 180^\circ$).
В этом случае основание высоты $H$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $A$. Обе вершины $A$ и $B$ будут лежать по одну сторону от точки $H$. По одну сторону от прямой $CH$ построим угол $\angle HCM = 90^\circ - \beta$. Луч $CM$ пересечет прямую $a$ в точке $B$. По ту же сторону от прямой $CH$ построим угол $\angle HCK = \alpha - 90^\circ$. Луч $CK$ пересечет прямую $a$ в точке $A$.

Случай 3: Один из углов прямой, например, $\alpha = 90^\circ$.
В этом случае вершина $A$ совпадает с основанием высоты $H$. Точка $A$ и точка $H$ — это одна и та же точка. Построим угол $\angle BCH = 90^\circ - \beta$. Луч, образующий этот угол с отрезком $CH$, пересечет прямую $a$ в точке $B$.

6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$. По построению, отрезок $CH$ перпендикулярен прямой $AB$, и его длина равна $h$. Следовательно, $CH$ является высотой треугольника, проведенной из вершины $C$, и ее длина равна заданной.

Проверим углы для основного случая, когда $\alpha$ и $\beta$ — острые углы.

В прямоугольном треугольнике $AHC$ ($\angle AHC = 90^\circ$) угол $\angle ACH$ построен равным $90^\circ - \alpha$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то $\angle CAH = 90^\circ - \angle ACH = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BHC$ ($\angle BHC = 90^\circ$) угол $\angle BCH$ построен равным $90^\circ - \beta$. Следовательно, $\angle CBH = 90^\circ - \angle BCH = 90^\circ - (90^\circ - \beta) = \beta$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет углы $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ и высоту $CH = h$. Доказательство для других случаев аналогично. Следовательно, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности), если заданные углы $\alpha$ и $\beta$ удовлетворяют условию $\alpha > 0$, $\beta > 0$ и $\alpha + \beta < 180^\circ$. Если сумма углов $\alpha + \beta \ge 180^\circ$, то треугольник с такими углами не существует, и задача не имеет решения. При соблюдении этого условия построение всегда выполнимо.

Ответ: Построение треугольника сводится к построению двух прямоугольных треугольников, имеющих общий катет, равный заданной высоте. Сначала строится высота $CH=h$ на некоторой прямой $a$. Затем из вершины $C$ проводятся два луча под углами к высоте, которые вычисляются на основе заданных углов $\alpha$ и $\beta$. Точки пересечения этих лучей с прямой $a$ являются двумя другими вершинами искомого треугольника.

694 Постройте треугольник ABC по углу А и медиане AM, если известно, что AB : АС = 2 : 3.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $m_a$ — длина данной медианы $AM$, а $\alpha$ — величина данного угла $A$. По условию, $AM = m_a$, $\angle BAC = \alpha$ и $AB : AC = 2 : 3$.

Воспользуемся методом вспомогательного построения. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее длину до точки $D$ так, что $AM = MD$. Тогда $AD = 2AM = 2m_a$.

Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $M$ — середина стороны $BC$. По нашему построению, $M$ — середина отрезка $AD$. Так как диагонали четырехугольника $ABDC$ в точке пересечения делятся пополам, то $ABDC$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны и параллельны. В частности, $BD = AC$ и $BD \parallel AC$.

Рассмотрим параллельные прямые $AC$ и $BD$ и секущую $AB$. Сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то есть $\angle BAC + \angle ABD = 180^\circ$. Отсюда, $\angle ABD = 180^\circ - \angle BAC = 180^\circ - \alpha$.

Теперь рассмотрим вспомогательный треугольник $ABD$. Мы можем определить его элементы:

• Сторона $AD = 2m_a$.
• Угол $\angle ABD = 180^\circ - \alpha$.
• Отношение сторон, образующих этот угол: $AB : BD = AB : AC = 2 : 3$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ABD$ по углу, отношению прилежащих к нему сторон и длине противолежащей стороны. После построения $\triangle ABD$ можно легко найти вершину $C$, так как $M$ является серединой $AD$, а $C$ симметрична $B$ относительно $M$.

Построение

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки в следующем порядке:

1. Построить угол, равный $180^\circ - \alpha$. Для этого нужно построить угол, смежный с данным углом $\alpha$. Обозначим вершину этого угла как $B'$.
2. На сторонах построенного угла отложить отрезки, находящиеся в отношении $2:3$. Для этого выберем произвольный единичный отрезок и отложим на одном луче от точки $B'$ отрезок $B'A_1$ длиной 2 единицы, а на другом луче — отрезок $B'D_1$ длиной 3 единицы.
3. Соединить точки $A_1$ и $D_1$. Полученный треугольник $A_1B'D_1$ подобен искомому вспомогательному треугольнику $ABD$.
4. Построить отрезок $AD$ длиной $2m_a$ (удвоенная длина данной медианы $AM$).
5. Построить треугольник $ABD$, подобный треугольнику $A_1B'D_1$, на стороне $AD$. Для этого у вершины $A$ отложить угол, равный $\angle B'A_1D_1$, а у вершины $D$ — угол, равный $\angle B'D_1A_1$. Точка пересечения лучей, образующих эти углы, будет искомой вершиной $B$.
6. Найти середину $M$ отрезка $AD$ (например, с помощью построения серединного перпендикуляра).
7. Провести прямую через точки $B$ и $M$.
8. На прямой $BM$ отложить от точки $M$ отрезок $MC = BM$ так, чтобы точка $M$ находилась между $B$ и $C$.
9. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. В $\triangle ABC$ отрезок $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой $M$ стороны $BC$ (по построению $M$ - середина $BC$), значит $AM$ — медиана. Ее длина $AM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}(2m_a) = m_a$.
2. По построению $ABDC$ — параллелограмм, так как его диагонали $AD$ и $BC$ делятся точкой пересечения $M$ пополам. Следовательно, $AC \parallel BD$. Тогда $\angle BAC = 180^\circ - \angle ABD$. Угол $\angle ABD$ в $\triangle ABD$ был построен равным $180^\circ - \alpha$. Значит, $\angle BAC = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$.
3. Из параллелограмма $ABDC$ следует, что $AC = BD$. Из подобия треугольников $ABD$ и $A_1B'D_1$ следует, что отношение сторон сохраняется: $AB : BD = A_1B' : D_1B' = 2:3$. Следовательно, $AB : AC = 2:3$.

Все условия задачи выполнены.

Исследование

Задача имеет решение, если данные позволяют построить треугольники. Угол $\alpha$ должен быть в пределах $(0^\circ, 180^\circ)$, а длина медианы $m_a > 0$. При этих условиях все шаги построения выполнимы и однозначны. Построение угла $180^\circ - \alpha$ всегда возможно. Построение подобного треугольника $A_1B'D_1$ всегда возможно. Построение $\triangle ABD$ по стороне и двум прилежащим углам (которые копируются с $\triangle A_1B'D_1$) всегда возможно и однозначно, так как сумма этих углов меньше $180^\circ$. Дальнейшие построения также однозначны. Следовательно, задача всегда имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Искомый треугольник строится через вспомогательный треугольник $ABD$, где $D$ — точка, такая что $M$ (середина $BC$) является также серединой отрезка $AD$. Этот вспомогательный треугольник $ABD$ строится по стороне $AD=2AM$, углу $\angle ABD = 180^\circ - \angle A$ и отношению прилежащих к нему сторон $AB:BD=2:3$. Детальный алгоритм построения приведен выше.

695 Постройте треугольник ABC по углу А и стороне ВС, если известно, что AB : АС = 2 : 1.

Для решения данной задачи на построение воспользуемся методом подобия. Суть метода заключается в том, чтобы сначала построить треугольник, подобный искомому (то есть имеющий ту же форму), а затем, используя данную длину стороны $BC$, построить сам искомый треугольник нужного размера.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. Его форма определяется двумя заданными условиями: величиной угла $\angle A$ и отношением сторон $AB : AC = 2 : 1$. Третье условие — длина стороны $BC$ — определяет его размеры.

Мы можем построить вспомогательный треугольник $A_1B_1C_1$, подобный треугольнику $ABC$. Для этого достаточно выбрать произвольную длину для стороны $A_1C_1$, а затем, используя известные угол $\angle A$ и отношение сторон, построить сам треугольник $A_1B_1C_1$. Пусть мы выбрали произвольный отрезок для стороны $A_1C_1$. Тогда, согласно условию, сторона $A_1B_1$ должна быть в два раза длиннее. Угол $\angle A_1$ должен быть равен данному углу $\angle A$. Таким образом, мы можем построить треугольник $A_1B_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними.

Построенный вспомогательный треугольник $A_1B_1C_1$ будет подобен искомому треугольнику $ABC$. Из подобия следует, что их углы соответственно равны: $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$.

Теперь, имея отрезок $BC$ (данный по условию) и зная углы $\angle B$ и $\angle C$, прилежащие к этой стороне, мы можем построить искомый треугольник $ABC$.

Построение

1. Построение вспомогательного треугольника $A_1B_1C_1$:
   1. С помощью циркуля и линейки построим угол с вершиной в точке $A_1$, равный данному углу $A$.
   2. На одной из сторон угла отложим произвольный отрезок $A_1C_1$.
   3. На другой стороне угла отложим отрезок $A_1B_1$, длина которого в два раза больше длины отрезка $A_1C_1$. Это можно сделать, отложив циркулем отрезок $A_1C_1$ дважды подряд от точки $A_1$.
   4. Соединим точки $B_1$ и $C_1$ отрезком. Вспомогательный треугольник $A_1B_1C_1$ построен.
2. Построение искомого треугольника $ABC$:
   1. Проведем прямую и отложим на ней отрезок $BC$, равный данному в условии.
   2. От луча $BC$ построим угол $\angle CBM$, равный углу $\angle A_1B_1C_1$ вспомогательного треугольника.
   3. От луча $CB$ в той же полуплоскости построим угол $\angle BCN$, равный углу $\angle A_1C_1B_1$ вспомогательного треугольника.
   4. Лучи $BM$ и $CN$ пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку $A$.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.
1. Сторона $BC$ имеет заданную длину по построению.
2. В треугольнике $ABC$ углы $\angle B$ и $\angle C$ по построению равны соответственно углам $\angle B_1$ и $\angle C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то и третий угол $\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (\angle B_1 + \angle C_1) = \angle A_1$. Угол $\angle A_1$ был построен равным данному углу, следовательно, $\angle A$ в треугольнике $ABC$ равен заданному углу.
3. Поскольку $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$, треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A_1B_1C_1$ (по второму признаку подобия — по двум углам). Из подобия следует пропорциональность сторон: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$. Из этой пропорции следует, что $\frac{AB}{AC} = \frac{A_1B_1}{A_1C_1}$. По построению вспомогательного треугольника, мы задали $A_1B_1 = 2 \cdot A_1C_1$, значит, $\frac{A_1B_1}{A_1C_1} = 2$. Следовательно, $\frac{AB}{AC} = 2$, или $AB : AC = 2 : 1$.
Таким образом, все условия задачи выполнены.

Исследование

Построение вспомогательного треугольника $A_1B_1C_1$ возможно всегда, если данный угол $A$ удовлетворяет условию $0^\circ < \angle A < 180^\circ$. Затем, так как углы $\angle B_1$ и $\angle C_1$ однозначно определены и их сумма $\angle B_1 + \angle C_1 = 180^\circ - \angle A_1 < 180^\circ$, то построение основного треугольника $ABC$ по стороне $BC$ и двум прилежащим к ней углам ($\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$) всегда возможно и приводит к единственному решению (с точностью до выбора полуплоскости относительно прямой $BC$). Следовательно, задача всегда имеет решение, и это решение единственно.

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника подробно описан выше в пунктах "Построение", "Доказательство" и "Исследование". Задача всегда имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

696 Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов, равному отношению двух данных отрезков.

Пусть дан отрезок $c$, который будет гипотенузой искомого треугольника, и два отрезка $m$ и $n$, задающие отношение катетов. Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, гипотенузой $AB = c$ и катетами $AC$, $BC$ такими, что $AC : BC = m : n$.

Анализ

Метод решения данной задачи основан на подобии треугольников. Все прямоугольные треугольники, у которых отношение катетов является постоянной величиной ($m:n$), подобны друг другу. Это следует из признака подобия по двум сторонам и углу между ними (угол $90^\circ$ и катеты, отношение которых задано).

Следовательно, мы можем сначала построить любой удобный для нас прямоугольный треугольник, удовлетворяющий заданному отношению катетов, а затем построить треугольник, подобный ему, но с заданной гипотенузой.

Самый простой способ построить вспомогательный треугольник — это взять катеты, равные данным отрезкам $m$ и $n$. Назовем этот треугольник $A_1B_1C_1$, где $\angle C_1 = 90^\circ$, $A_1C_1 = m$ и $B_1C_1 = n$.

Искомый треугольник $ABC$ должен быть подобен $\triangle A_1B_1C_1$. Из подобия следует равенство соответствующих углов: $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Таким образом, мы можем построить искомый треугольник по стороне (гипотенузе $c$) и двум прилежащим к ней углам, которые мы определим из вспомогательного треугольника.

Построение

Построение выполняется в два этапа:

1. Построение вспомогательного треугольника $A_1B_1C_1$.
   • Провести две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $C_1$.
   • На одной прямой отложить от точки $C_1$ отрезок $C_1A_1$, равный данному отрезку $m$.
   • На другой прямой отложить от точки $C_1$ отрезок $C_1B_1$, равный данному отрезку $n$.
   • Соединить точки $A_1$ и $B_1$ отрезком. Треугольник $A_1B_1C_1$ построен.
2. Построение искомого треугольника $ABC$.
   • На произвольной прямой отложить отрезок $AB$, равный данной гипотенузе $c$.
   • С помощью циркуля и линейки построить угол с вершиной в точке $A$, равный углу $C_1A_1B_1$, так, чтобы одна его сторона лежала на луче $AB$.
   • Аналогично построить угол с вершиной в точке $B$, равный углу $C_1B_1A_1$, так, чтобы одна его сторона лежала на луче $BA$, и оба построенных угла находились в одной полуплоскости относительно прямой $AB$.
   • Продолжить вторые стороны построенных углов до их пересечения в точке $C$.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. Прямоугольный треугольник. По построению, углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны острым углам прямоугольного треугольника $A_1B_1C_1$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, значит $\angle A + \angle B = \angle A_1 + \angle B_1 = 90^\circ$. Так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то для угла $C$ имеем: $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABC$ — прямоугольный.
2. Заданная гипотенуза. Сторона $AB$, противолежащая прямому углу $C$, является гипотенузой. По построению ее длина равна $c$.
3. Заданное отношение катетов. Поскольку $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ имеют по два равных угла ($\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1$), они подобны по первому признаку подобия. Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон: $$ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1} $$ Из этой пропорции следует, что $$ \frac{AC}{BC} = \frac{A_1C_1}{B_1C_1} $$ По построению вспомогательного треугольника $A_1C_1 = m$ и $B_1C_1 = n$. Таким образом, $$ \frac{AC}{BC} = \frac{m}{n} $$ что и требовалось доказать.

Исследование

Данная задача имеет решение тогда и только тогда, когда заданные отрезки $c$, $m$ и $n$ имеют ненулевую длину. Все шаги построения выполнимы с помощью циркуля и линейки. Сумма углов $\angle A + \angle B = 90^\circ < 180^\circ$, поэтому лучи, выходящие из точек $A$ и $B$, всегда пересекаются, причем в единственной точке. Таким образом, задача всегда имеет единственное решение (с точностью до симметричного отражения относительно гипотенузы).

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника и его обоснование представлены выше.