Номер 692, страница 180 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 692, страница 180.

692 Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведённой из вершины меньшего из данных углов.

Пусть нам даны два угла, $\alpha$ и $\beta$, и отрезок $l$, равный длине биссектрисы. Без ограничения общности, предположим, что $\alpha$ — меньший из двух данных углов ($\alpha < \beta$). Требуется построить треугольник $ABC$, в котором $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, а биссектриса $AD$, проведенная из вершины $A$, имеет длину $l$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. В этом треугольнике $AD$ является биссектрисой угла $A$, и ее длина равна $l$. Точка $D$ лежит на стороне $BC$.

Так как $AD$ — биссектриса, она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. В нем нам известны следующие элементы:

• длина стороны $AD = l$;
• величина угла $\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$;
• величина угла $\angle ABD = \angle B = \beta$.

Из теоремы о сумме углов треугольника мы можем найти третий угол треугольника $ABD$:

$\angle ADB = 180^\circ - (\angle BAD + \angle ABD) = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \beta)$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $ABD$ по стороне $AD$ и двум прилежащим к ней углам: $\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle ADB = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \beta)$. Это стандартная задача на построение (по стороне и двум прилежащим углам).

После того как треугольник $ABD$ будет построен, мы будем иметь вершины $A$, $B$ и точку $D$. Вершина $C$ искомого треугольника должна лежать на прямой, проходящей через точки $B$ и $D$. Также вершина $C$ должна лежать на луче, выходящем из точки $A$ под углом $\frac{\alpha}{2}$ к лучу $AD$ (так как $\angle CAD = \frac{\alpha}{2}$).

Следовательно, вершина $C$ — это точка пересечения прямой $BD$ и луча $AC$. На основе этого анализа можно составить план построения.

Построение

1. С помощью циркуля и линейки построим угол, равный $\frac{\alpha}{2}$, разделив данный угол $\alpha$ пополам.
2. Построим угол $\gamma'$, равный $180^\circ - (\beta + \frac{\alpha}{2})$. Для этого на произвольной прямой в некоторой точке отложим последовательно (в одной полуплоскости) углы $\beta$ и $\frac{\alpha}{2}$. Угол, смежный с их суммой, и будет искомым углом $\gamma'$.
3. Теперь построим треугольник $ABD$:
1. Проведем прямую и отложим на ней отрезок $AD$, равный по длине данному отрезку $l$.
2. От луча $AD$ в точке $A$ отложим угол, равный $\frac{\alpha}{2}$. Получим луч $AX$.
3. От луча $DA$ в точке $D$ отложим угол, равный $\gamma'$. Получим луч $DY$. (Лучи $AX$ и $DY$ должны лежать в одной полуплоскости относительно прямой $AD$).
4. Точка пересечения лучей $AX$ и $DY$ будет вершиной $B$.
4. Проведем прямую через точки $B$ и $D$.
5. От луча $AD$ отложим угол $\angle DAC$, равный $\frac{\alpha}{2}$, в полуплоскости, противоположной той, где лежит точка $B$.
6. Точка пересечения луча $AC$ с прямой $BD$ и будет искомой вершиной $C$.
7. Соединим вершины $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• По построению, отрезок $AD$ имеет длину $l$.
• Угол $\angle BAC$ состоит из двух углов, $\angle BAD$ и $\angle CAD$. По построению, $\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle CAD = \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, $\angle BAC = \frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} = \alpha$. Также из этого следует, что $AD$ является биссектрисой угла $A$.
• Рассмотрим треугольник $ABD$. По построению, $\angle BAD = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle ADB = 180^\circ - (\beta + \frac{\alpha}{2})$. По теореме о сумме углов треугольника, угол $\angle B$ (он же $\angle ABD$) равен: $\angle ABD = 180^\circ - (\angle BAD + \angle ADB) = 180^\circ - \left(\frac{\alpha}{2} + 180^\circ - \beta - \frac{\alpha}{2}\right) = \beta$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет угол $\angle A = \alpha$, угол $\angle B = \beta$, и биссектрису $AD$ длиной $l$. Все условия задачи выполнены.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда указанные построения выполнимы и приводят к единственному результату (с точностью до конгруэнтности).

1. Для того чтобы треугольник $ABC$ существовал, необходимо, чтобы сумма его углов $\alpha$ и $\beta$ была меньше $180^\circ$. Если $\alpha + \beta \geq 180^\circ$, то третий угол будет $\leq 0$, что невозможно. Итак, необходимое условие: $\alpha + \beta < 180^\circ$.

2. Построение вспомогательного треугольника $ABD$ всегда возможно, если $\angle BAD + \angle ABD < 180^\circ$, то есть $\frac{\alpha}{2} + \beta < 180^\circ$. Так как $\alpha > 0$, то $\frac{\alpha}{2} < \alpha$. Если выполняется условие $\alpha + \beta < 180^\circ$, то и $\frac{\alpha}{2} + \beta < 180^\circ$ будет выполняться автоматически.

3. Вершина $C$ находится как пересечение прямой $BD$ и луча $AC$. Это пересечение существует и единственно, если прямая и луч не параллельны. Они будут параллельны, если сумма внутренних односторонних углов при секущей $AD$ равна $180^\circ$. Эти углы — $\angle CAD$ и $\angle ADC$. Мы имеем $\angle CAD = \frac{\alpha}{2}$ и $\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB = 180^\circ - \left(180^\circ - (\beta + \frac{\alpha}{2})\right) = \beta + \frac{\alpha}{2}$. Их сумма равна $\angle CAD + \angle ADC = \frac{\alpha}{2} + \beta + \frac{\alpha}{2} = \alpha + \beta$. Таким образом, для пересечения необходимо, чтобы $\alpha + \beta \neq 180^\circ$. А так как углы треугольника положительны, то для существования третьего угла $C$ необходимо $\alpha + \beta < 180^\circ$.

Вывод: задача имеет единственное решение (с точностью до выбора положения и ориентации на плоскости) тогда и только тогда, когда сумма данных углов меньше $180^\circ$.

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника описан в разделе "Построение". Задача имеет единственное решение при выполнении условия $\alpha + \beta < 180^\circ$.