Номер 699, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

75. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 699, страница 184.

699 Найдите:
а) sin α и tg α, если $\text{cos α}=\frac{1}{2}$;
б) sin α и tg α, если $\text{cos α}=\frac{2}{3}$;
в) cos α и tg α, если $\text{sin α}=\frac{\sqrt{3}}{2}$;
г) cos α и tg α, если $\text{sin α}=\frac{1}{4}$.

а)

Для решения задачи будем использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и определение тангенса $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. В задаче предполагается, что угол $\alpha$ острый, поэтому его синус, косинус и тангенс положительны.
Дано: $\cos\alpha = \frac{1}{2}$.
1. Найдем $\sin\alpha$:
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$
$\sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$\sin\alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
2. Найдем $\tan\alpha$:
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}$
Ответ: $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan\alpha = \sqrt{3}$.

б)

Используем те же формулы: основное тригонометрическое тождество и определение тангенса.
Дано: $\cos\alpha = \frac{2}{3}$.
1. Найдем $\sin\alpha$:
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$
$\sin\alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$
2. Найдем $\tan\alpha$:
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$
Ответ: $\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\tan\alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

в)

Здесь нам дан синус, и мы находим косинус и тангенс.
Дано: $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
1. Найдем $\cos\alpha$ из тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$\cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
2. Найдем $\tan\alpha$:
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$
Ответ: $\cos\alpha = \frac{1}{2}$, $\tan\alpha = \sqrt{3}$.

г)

Аналогично предыдущему пункту, находим косинус и тангенс по известному синусу.
Дано: $\sin\alpha = \frac{1}{4}$.
1. Найдем $\cos\alpha$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$
$\cos\alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$
2. Найдем $\tan\alpha$:
$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{1 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$.
Ответ: $\cos\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$, $\tan\alpha = \frac{\sqrt{15}}{15}$.