Номер 702, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

75. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 702, страница 184.

702 В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен α. Выразите второй острый угол и катеты через с и α и найдите их значения, если с = 24 см, а α = 35°.

Пусть в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c$, один острый угол равен $\alpha$, второй острый угол равен $\beta$. Катеты, противолежащий и прилежащий углу $\alpha$, обозначим как $a$ и $b$ соответственно.

Выражение второго острого угла и катетов через c и ?

1. Второй острый угол. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Поскольку в прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$, сумма двух острых углов составляет $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\alpha + \beta = 90^\circ$. Отсюда выражаем второй острый угол $\beta$:

$\beta = 90^\circ - \alpha$

2. Катеты. Используя определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике, выразим катеты через гипотенузу $c$ и угол $\alpha$.

Катет $a$, противолежащий углу $\alpha$, равен произведению гипотенузы на синус этого угла:

$a = c \cdot \sin(\alpha)$

Катет $b$, прилежащий к углу $\alpha$, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:

$b = c \cdot \cos(\alpha)$

Ответ: Второй острый угол равен $90^\circ - \alpha$; катеты равны $c \cdot \sin(\alpha)$ и $c \cdot \cos(\alpha)$.

Нахождение их значений, если c = 24 см, а ? = 35°

Подставим заданные значения $c = 24$ см и $\alpha = 35^\circ$ в полученные формулы.

1. Значение второго острого угла.

$\beta = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$

2. Значения катетов.

Для вычислений используем значения синуса и косинуса (с точностью до четырех знаков после запятой): $\sin(35^\circ) \approx 0.5736$ и $\cos(35^\circ) \approx 0.8192$.

Катет, противолежащий углу $35^\circ$:

$a = 24 \cdot \sin(35^\circ) \approx 24 \cdot 0.5736 \approx 13.77$ см.

Катет, прилежащий к углу $35^\circ$:

$b = 24 \cdot \cos(35^\circ) \approx 24 \cdot 0.8192 \approx 19.66$ см.

Ответ: Второй острый угол равен $55^\circ$; катеты приблизительно равны $13.77$ см и $19.66$ см.