Номер 704, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

75. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 704, страница 184.

704 Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом α при основании, если: а) боковая сторона равна b; б) основание равно а.

а)

Пусть дан равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и углом при основании $\alpha$. Для нахождения площади треугольника можно использовать две основные формулы: через основание и высоту или через две стороны и угол между ними.

Способ 1: Через две стороны и угол между ними.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, то есть у нас есть две стороны длиной $b$. Углы при основании также равны, и каждый из них равен $\alpha$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому угол при вершине, лежащий между боковыми сторонами, равен $180^\circ - 2\alpha$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}xy\sin\gamma$, где $x$ и $y$ — стороны, а $\gamma$ — угол между ними.

Применим эту формулу к нашему треугольнику: $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot b \cdot \sin(180^\circ - 2\alpha)$

Поскольку $\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$, получаем: $S = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha)$

Способ 2: Через основание и высоту.

Проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике эта высота также является медианой и биссектрисой. Она делит исходный треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом из них гипотенуза равна $b$, а один из острых углов равен $\alpha$.

Из такого прямоугольного треугольника находим высоту $h$ и половину основания $\frac{a}{2}$: $h = b \sin\alpha$ (как катет, противолежащий углу $\alpha$) $\frac{a}{2} = b \cos\alpha$ (как катет, прилежащий к углу $\alpha$)

Следовательно, длина всего основания $a = 2b \cos\alpha$. Площадь треугольника равна $S = \frac{1}{2}ah$: $S = \frac{1}{2} (2b \cos\alpha) (b \sin\alpha) = b^2 \sin\alpha \cos\alpha$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, мы можем преобразовать это выражение: $S = \frac{1}{2} b^2 (2\sin\alpha\cos\alpha) = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha)$ Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $S = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha)$.

б)

Пусть дан равнобедренный треугольник с основанием $a$ и углом при основании $\alpha$. Для нахождения площади воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Основание нам известно, оно равно $a$. Найдем высоту $h$, проведенную к этому основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит его пополам. Таким образом, она разбивает треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Один из его катетов — это искомая высота $h$, а другой катет — это половина основания, то есть $\frac{a}{2}$. Угол при основании исходного треугольника $\alpha$ является одним из острых углов этого прямоугольного треугольника. Он прилежит к катету $\frac{a}{2}$ и противолежит катету $h$.

Из определения тангенса в прямоугольном треугольнике ($\tan\alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$) имеем: $\tan\alpha = \frac{h}{a/2}$

Отсюда выражаем высоту $h$: $h = \frac{a}{2} \tan\alpha$

Теперь подставим найденную высоту в формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{a}{2} \tan\alpha\right) = \frac{a^2}{4} \tan\alpha$

Ответ: $S = \frac{a^2}{4} \tan\alpha$.