Номер 698, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

75. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 698, страница 184.

698 Постройте угол α, если:

а) $\text{tg α=}\frac{1}{2}\text{;}$

б) $\text{tg α=}\frac{3}{4}\text{;}$

в) $\text{cos α=0,2;}$

г) $\text{cos α=}\frac{2}{3}\text{;}$

д) $\text{sin α=}\frac{1}{2}\text{;}$

е) $\text{sin α=0,4;}$

а) tg ? = 1/2

Для построения угла $ \alpha $, тангенс которого равен $ \frac{1}{2} $, мы построим прямоугольный треугольник, у которого отношение противолежащего катета к прилежащему катету равно $ \frac{1}{2} $.

1. Начертим прямой угол и обозначим его вершину буквой $ C $.
2. На одной стороне угла отложим отрезок $ AC $ длиной 2 условные единицы (например, 2 см или 4 клетки). Этот отрезок будет прилежащим катетом.
3. На другой стороне угла отложим отрезок $ BC $ длиной 1 условную единицу. Этот отрезок будет противолежащим катетом.
4. Соединим точки $ A $ и $ B $. Получим прямоугольный треугольник $ ABC $ с прямым углом $ C $.
5. Угол $ \angle BAC $ является искомым углом $ \alpha $, так как по определению тангенса в прямоугольном треугольнике: $ \text{tg}(\angle BAC) = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2} $.

Ответ: Угол $ \angle BAC $ в построенном треугольнике $ ABC $ является искомым углом $ \alpha $.

б) tg ? = 3/4

Построение аналогично предыдущему пункту. Нам нужен прямоугольный треугольник с отношением противолежащего катета к прилежащему катету, равным $ \frac{3}{4} $.

1. Строим прямой угол с вершиной $ C $.
2. На одном катете откладываем отрезок $ AC $ длиной 4 условные единицы (прилежащий катет).
3. На другом катете откладываем отрезок $ BC $ длиной 3 условные единицы (противолежащий катет).
4. Соединяем точки $ A $ и $ B $, получая прямоугольный треугольник $ ABC $.
5. Угол $ \angle BAC $ будет искомым углом $ \alpha $, так как $ \text{tg}(\angle BAC) = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4} $.

Ответ: Угол $ \angle BAC $ в построенном треугольнике $ ABC $ является искомым углом $ \alpha $.

в) cos ? = 0,2

Представим $ 0,2 $ в виде дроби: $ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $. Для построения угла $ \alpha $ с $ \cos \alpha = \frac{1}{5} $ построим прямоугольный треугольник, у которого отношение прилежащего катета к гипотенузе равно $ \frac{1}{5} $.

1. Начертим прямую и отметим на ней точку $ C $.
2. От точки $ C $ отложим отрезок $ AC $ длиной 1 условную единицу.
3. В точке $ C $ восстановим перпендикуляр к прямой $ AC $.
4. Из точки $ A $ как из центра проведем дугу окружности радиусом 5 условных единиц (длина гипотенузы).
5. Точка пересечения этой дуги с перпендикуляром будет вершиной $ B $ нашего треугольника.
6. Соединим точки $ A $ и $ B $. Треугольник $ ABC $ — прямоугольный с прямым углом $ C $.
7. Угол $ \angle BAC $ является искомым углом $ \alpha $, так как по определению косинуса: $ \cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB} = \frac{1}{5} = 0,2 $.

Ответ: Угол $ \angle BAC $ в построенном треугольнике $ ABC $ является искомым углом $ \alpha $.

г) cos ? = 2/3

Для построения угла $ \alpha $ с $ \cos \alpha = \frac{2}{3} $ построим прямоугольный треугольник, в котором отношение прилежащего катета к гипотенузе равно $ \frac{2}{3} $.

1. Начертим прямую и на ней отрезок $ AC $ длиной 2 условные единицы (прилежащий катет).
2. В точке $ C $ построим перпендикуляр к отрезку $ AC $.
3. Из точки $ A $ проведем дугу окружности радиусом 3 условные единицы (гипотенуза).
4. Точку пересечения дуги и перпендикуляра обозначим $ B $.
5. Соединив точки $ A $ и $ B $, получим прямоугольный треугольник $ ABC $.
6. Угол $ \angle BAC $ является искомым углом $ \alpha $, поскольку $ \cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{3} $.

Ответ: Угол $ \angle BAC $ в построенном треугольнике $ ABC $ является искомым углом $ \alpha $.

д) sin ? = 1/2

Для построения угла $ \alpha $, синус которого равен $ \frac{1}{2} $, мы построим прямоугольный треугольник, у которого отношение противолежащего катета к гипотенузе равно $ \frac{1}{2} $.

1. Начертим прямую $ l $. Выберем на ней произвольную точку $ C $.
2. Построим прямую, перпендикулярную прямой $ l $ и проходящую через точку $ C $.
3. На этом перпендикуляре отложим отрезок $ BC $ длиной 1 условную единицу (противолежащий катет).
4. Из точки $ B $ как из центра проведем дугу окружности радиусом 2 условные единицы (гипотенуза).
5. Точку пересечения этой дуги с прямой $ l $ обозначим $ A $.
6. Соединим точки $ A $ и $ B $. Получим прямоугольный треугольник $ ABC $.
7. Угол $ \angle BAC $ — искомый угол $ \alpha $, так как $ \sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2} $. (Стоит отметить, что это угол $ 30^\circ $).

Ответ: Угол $ \angle BAC $ в построенном треугольнике $ ABC $ является искомым углом $ \alpha $.

е) sin ? = 0,4

Представим $ 0,4 $ в виде дроби: $ 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $. Построим прямоугольный треугольник, в котором отношение противолежащего катета к гипотенузе равно $ \frac{2}{5} $.

1. Проведем прямую $ l $ и выберем на ней точку $ C $.
2. В точке $ C $ восстановим перпендикуляр к прямой $ l $.
3. На перпендикуляре отложим отрезок $ BC $ длиной 2 условные единицы (противолежащий катет).
4. Из точки $ B $ проведем дугу окружности радиусом 5 условных единиц (гипотенуза).
5. Точка пересечения дуги и прямой $ l $ будет вершиной $ A $.
6. Соединим точки $ A $ и $ B $. Треугольник $ ABC $ — прямоугольный.
7. Угол $ \angle BAC $ — искомый угол $ \alpha $, так как $ \sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{5} = 0,4 $.

Ответ: Угол $ \angle BAC $ в построенном треугольнике $ ABC $ является искомым углом $ \alpha $.