Номер 693, страница 180 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 693, страница 180.

693 Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведённой из вершины третьего угла.

Пусть нам даны два угла $\alpha$ и $\beta$ и высота $h$, проведенная из вершины третьего угла. Необходимо построить треугольник $ABC$, в котором, например, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, а высота из вершины $C$ (обозначим ее $CH$) равна $h$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $CH$ — его высота, проведенная к стороне $AB$ (или ее продолжению), причем $CH = h$. Высота $CH$ перпендикулярна прямой $AB$. Таким образом, образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle AHC$ и $\triangle BHC$.

В треугольнике $AHC$ катет $CH=h$, а угол при вершине $A$ равен $\alpha$. В треугольнике $BHC$ катет $CH=h$, а угол при вершине $B$ равен $\beta$.

Из свойств прямоугольного треугольника мы можем найти углы $\angle ACH$ и $\angle BCH$.

Если угол $\alpha$ острый ($\alpha < 90^\circ$), то в $\triangle AHC$ угол $\angle ACH = 90^\circ - \alpha$. Если угол $\alpha$ тупой ($\alpha > 90^\circ$), то основание высоты $H$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $A$. Угол $\angle CAH$ смежный с углом $\alpha$, поэтому $\angle CAH = 180^\circ - \alpha$. Тогда $\angle ACH = 90^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha - 90^\circ$. Если $\alpha = 90^\circ$, то вершина $A$ совпадает с $H$.

Аналогичные рассуждения верны и для угла $\beta$ и треугольника $BHC$.

Таким образом, мы можем построить эти два прямоугольных треугольника с общим катетом $CH=h$, и тем самым построить искомый треугольник $ABC$. План построения основан на этой идее.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $a$. Эта прямая будет содержать сторону искомого треугольника.

2. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $H$.

3. Через точку $H$ проведем прямую $b$, перпендикулярную прямой $a$.

4. На прямой $b$ отложим отрезок $HC$, равный по длине данной высоте $h$. Точка $C$ — третья вершина искомого треугольника.

5. Теперь построим лучи из вершины $C$, которые в пересечении с прямой $a$ дадут нам вершины $A$ и $B$. Рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: Оба угла $\alpha$ и $\beta$ острые ($\alpha < 90^\circ, \beta < 90^\circ$).
В этом случае основание высоты $H$ лежит между вершинами $A$ и $B$. По одну сторону от прямой $CH$ построим угол $\angle HCK = 90^\circ - \alpha$. По другую сторону от прямой $CH$ построим угол $\angle HCM = 90^\circ - \beta$. Лучи $CK$ и $CM$ пересекут прямую $a$ в точках $A$ и $B$ соответственно.

Случай 2: Один из углов тупой, например, $\alpha > 90^\circ$ (тогда $\beta < 90^\circ$, так как $\alpha+\beta < 180^\circ$).
В этом случае основание высоты $H$ лежит на продолжении стороны $AB$ за точку $A$. Обе вершины $A$ и $B$ будут лежать по одну сторону от точки $H$. По одну сторону от прямой $CH$ построим угол $\angle HCM = 90^\circ - \beta$. Луч $CM$ пересечет прямую $a$ в точке $B$. По ту же сторону от прямой $CH$ построим угол $\angle HCK = \alpha - 90^\circ$. Луч $CK$ пересечет прямую $a$ в точке $A$.

Случай 3: Один из углов прямой, например, $\alpha = 90^\circ$.
В этом случае вершина $A$ совпадает с основанием высоты $H$. Точка $A$ и точка $H$ — это одна и та же точка. Построим угол $\angle BCH = 90^\circ - \beta$. Луч, образующий этот угол с отрезком $CH$, пересечет прямую $a$ в точке $B$.

6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$. По построению, отрезок $CH$ перпендикулярен прямой $AB$, и его длина равна $h$. Следовательно, $CH$ является высотой треугольника, проведенной из вершины $C$, и ее длина равна заданной.

Проверим углы для основного случая, когда $\alpha$ и $\beta$ — острые углы.

В прямоугольном треугольнике $AHC$ ($\angle AHC = 90^\circ$) угол $\angle ACH$ построен равным $90^\circ - \alpha$. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то $\angle CAH = 90^\circ - \angle ACH = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $BHC$ ($\angle BHC = 90^\circ$) угол $\angle BCH$ построен равным $90^\circ - \beta$. Следовательно, $\angle CBH = 90^\circ - \angle BCH = 90^\circ - (90^\circ - \beta) = \beta$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет углы $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ и высоту $CH = h$. Доказательство для других случаев аналогично. Следовательно, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности), если заданные углы $\alpha$ и $\beta$ удовлетворяют условию $\alpha > 0$, $\beta > 0$ и $\alpha + \beta < 180^\circ$. Если сумма углов $\alpha + \beta \ge 180^\circ$, то треугольник с такими углами не существует, и задача не имеет решения. При соблюдении этого условия построение всегда выполнимо.

Ответ: Построение треугольника сводится к построению двух прямоугольных треугольников, имеющих общий катет, равный заданной высоте. Сначала строится высота $CH=h$ на некоторой прямой $a$. Затем из вершины $C$ проводятся два луча под углами к высоте, которые вычисляются на основе заданных углов $\alpha$ и $\beta$. Точки пересечения этих лучей с прямой $a$ являются двумя другими вершинами искомого треугольника.