Номер 688, страница 180 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 688, страница 180.

688 Для определения расстояния от точки А до недоступной точки В на местности выбрали точку С и измерили отрезок АС, углы ВАС и АСВ. Затем построили на бумаге треугольник А₁В₁С₁, подобный треугольнику ABC. Найдите AB, если АС = 42 м, A₁C₁ = 6,3 см, A₁B₁ = 7,2 см.

По условию задачи, треугольник $A_1B_1C_1$, построенный на бумаге, подобен треугольнику $ABC$ на местности. Обозначим это как $?ABC \sim ?A_1B_1C_1$.

Основное свойство подобных треугольников заключается в том, что отношения длин их соответственных сторон равны. Запишем это в виде пропорции:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$

Для нахождения неизвестного расстояния $AB$ нам достаточно использовать первую часть равенства, так как все остальные величины в ней известны:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$

Выразим из этой пропорции искомую сторону $AB$:

$AB = A_1B_1 \cdot \frac{AC}{A_1C_1}$

В задаче даны следующие значения:
$AC = 42$ м
$A_1C_1 = 6,3$ см
$A_1B_1 = 7,2$ см

Чтобы выполнить вычисления, необходимо привести все размеры к одной единице измерения. Переведём метры в сантиметры:

$AC = 42 \text{ м} = 42 \cdot 100 \text{ см} = 4200 \text{ см}$

Теперь подставим числовые значения в формулу для $AB$:

$AB = 7,2 \text{ см} \cdot \frac{4200 \text{ см}}{6,3 \text{ см}}$

Произведем вычисления:

$AB = 7,2 \cdot \frac{42000}{63} = 7,2 \cdot \frac{2000 \cdot 21}{3 \cdot 21} = 7,2 \cdot \frac{2000}{3}$

$AB = \frac{7,2}{3} \cdot 2000 = 2,4 \cdot 2000 = 4800 \text{ см}$

Полученное расстояние выражено в сантиметрах. Для ответа вернемся к метрам, так как это более подходящая единица измерения для расстояний на местности:

$4800 \text{ см} = \frac{4800}{100} \text{ м} = 48 \text{ м}$

Ответ: $48$ м.